Sujet 02600 – 4

E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1 :

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(4; 2)$, $B(2; 6)$. Une équation cartésienne de la médiatrice du segment $[AB]$ est :

a. $x = 3$
b. $x-2y+ 5 = 0$
c. $x + 2y-11 = 0$
d. $y = 0,5x + 3$

$\quad$

Correction Question 1

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}$.
On appelle $d$ la médiatrice du segment $[AB]$.
Ainsi $\vect{AB}$ est un vecteur normal à $d$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc de la forme $-2x+4y+c=0$.
On appelle $I$ le milieu du segment $[AB]$. $I$ a alors pour coordonnées $(3;4)$.
Le point $I$ appartient à la droite $d$.
Par conséquent $-6+16+c=0\ssi c=-10$
Une équation cartésienne de $d$ est donc $-2x+4y-10=0$ ou également, en divisant par $-2$, $x-2y+5=0$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2 :

On donne deux points $P$ et $N$ tels $PN = 6$.
L’ensemble des points $M$ tels que $\vect{MP}.\vect{MN}=0$ est :

a. la droite $(PN)$.
b. le cercle de diamètre $[PN]$.
c. un cercle de rayon $6$.
d. le milieu du segment $[PN]$.

$\quad$

Correction Question 2

$\vect{MP}.\vect{MN}=0$ le triangle $MPN$ est rectangle en $M$ si $M$ est différent des points $P$ et $N$.
L’ensemble des points cherché est donc le cercle de diamètre $[PN]$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3 :

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) =x^3-4x+5$. Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ dans un repère orthonormé au point d’abscisse $-1$ est :

a. $y=8x+7$
b. $y=-7x+1$
c. $y=-4x+5$
d. $y=-x+7$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=3x^2-4$
Ainsi $g'(-1)=-1$.
De plus $g(1)=8$

Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d’abscisse $-1$ est $y=-1\left(x-(-1)\right)+8$ soit $y=-x+7$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$


$\quad$

Question 4 :

L’axe de symétrie de la parabole d’équation $y=x^2+x+3$ est :

a. $y=x$
b. $y=-0,5x$
c. $y=-0,5$
d. $x=-0,5$

$\quad$

Correction Question 4

L’axe de symétrie d’une parabole a une équation de la forme $x=k$.
La seule possibilité ici est donc $x=-0,5$.

Réponse d

Remarque : Le sommet de la parabole a pour abscisse $x_S=-\dfrac{b}{2a}$ soit ici $x_S=-0,5$. On retrouve ainsi la valeur du $k$.

$\quad$

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$\quad$

Question 5 :

L’inéquation $-3\e^{x+2}>-3\e^4$, d’inconnue $x$, a pour ensemble de solutions :

a. $]-2;+\infty[$
b. $]2;+\infty[$
c. $]-\infty;2[$
d. $]-\infty;-2[$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} -3\e^{x+2}>-3\e^4&\ssi \e^{x+2}<\e^4 \\
&\ssi x+2<4 \\
&\ssi x<2\end{align*}$
L’ensemble solution est donc $]-\infty;2[$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Partie A :

$\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $U_0= 25~000$ et de raison $0,94$.

$\left(V_n\right)$ est une suite définie par : $V_n = 50 ( 104 + 25 n)$ pour tout entier naturel $n$.

  1. Déterminer une forme explicite de la suite $\left(U_n\right)$.
    $\quad$
  2. Calculer la somme des sept premiers termes de la suite $\left(U_n\right)$.
    $\quad$
  3. Comparer les termes $U_0$ et $V_0$ puis $U_{20}$ et $V_{20}$.
    $\quad$
  4. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $U_n<V_n$.
    $\quad$

Partie B :

Un concessionnaire de voitures propose des voitures équipées d’un moteur diesel ou d’un moteur essence.
Durant sa première année d’existence en 1995, il a vendu $25~000$ véhicules avec un moteur diesel et $5~200$ véhicules avec un moteur essence.
Ses ventes de voitures avec un moteur diesel ont diminué de 6 % chaque année, alors que ses ventes de voitures avec un moteur essence ont augmenté de $1~250$ unités tous les ans.

En quelle année les ventes de voitures avec un moteur essence ont elles dépassé les ventes de voitures avec un moteur diesel ?

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $U_0= 25~000$ et de raison $0,94$.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n=25~000\times 0,94^n$.
    $\quad$
  2. La somme des sept premiers termes de la suite $\left(U_n\right)$ est :
    $\begin{align*} S&=U_0+U_1+\ldots+U_6 \\
    &=25~000\times \dfrac{1-0,94^7}{1-0,94} \\
    &=146~467,669~1\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a $U_0=25~000$ et $V_0=5~200$
    Donc $U_0>V_0$
    $\quad$
    $U_{20}=25~000\times 0,94^{20} \approx 7252,66$
    $V_{20}=30~200$
    Donc $U_{20}<V_{20}$
    $\quad$
  4. Voici les premières valeurs (arrondies) des suites $\left(U_n\right)$ et $\left(V_n\right)$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    n &U_n& V_n\\
    \hline
    0 &25~000& 5~200\\
    \hline
    1& 23~500& 6~450\\
    \hline
    2& 22~090& 7~700\\
    \hline
    3& 20~764,6& 8~950\\
    \hline
    4& 19~518,724& 10~200\\
    \hline
    5& 18~347,600~56& 11~450\\
    \hline
    6& 17~246,744~53& 12~700\\
    \hline
    7& 16~211,939~85& 13~950\\
    \hline
    8& 15~239,223~46& 15~200\\
    \hline
    9& 14~324,870~06& 16~450\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le plus petit entier naturel $n$ tel que $U_n<V_n$ est donc $9$.
    $\quad$

Partie B

Le nombre de voitures avec un moteur diesel diminue chaque année de $6\%$. Ce nombre est donc multiplié, chaque année, par $0,94$.
Ainsi la suite $\left(U_n\right)$ de la partie A représente le nombre de voitures avec un moteur diesel vendues l’année 1995$+n$.

Le nombre de véhicules avec un moteur essence vendu l’année 1995$+n$ est représenté par la suite $\left(W_n\right)$. Il s’agit d’une suite arithmétique de raison $1~250$ et de premier terme $5~200$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a :
$\begin{align*} W_n&=5~200+1~250n\\
&=50(104+25n)\\
&=V_n\end{align*}$

D’après la question A.4. $U_n<V_n$ pour $n\pg 9$.
C’est donc à partir de l’année 2004 que les ventes de voitures avec un moteur essence ont dépassé les ventes de voitures avec un moteur diesel.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

On dispose d’un paquet de cartes contenant un nombre identique de cartes de la catégorie « Sciences » et de la catégorie « Économie ». Une question liée à un de ces deux thèmes figure sur chaque carte.
Les cartes sont mélangées et on en tire une au hasard dans le paquet. Ensuite, on essaye de répondre à la question posée.

Un groupe de copains participe à ce jeu. Connaissant leurs points forts et leurs faiblesses, on estime qu’il a :

  • $3$ chances sur $4$ de donner la bonne réponse lorsqu’il est interrogé en sciences ;
  • $1$ chance sur $8$ de donner la bonne réponse lorsqu’il est interrogé en économie.

On note $S$ l’événement «La question est dans la catégorie Sciences» et $B$ l’événement «La réponse donnée par le groupe est bonne»

Partie A :

  1. Calculer $P(B\cap S)$
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité que le groupe de copains réponde correctement à la question posée.
    $\quad$
  3. Les événements $S$ et $B$ sont-ils indépendants ?
    $\quad$

Partie B

Pour participer à ce jeu, on doit payer $5$ € de droit d’inscription.
On recevra :

  • $10$ € si on est interrogé en sciences et que la réponse est correcte ;
  • $30$ € si on est interrogé en économie et que la réponse est correcte ;
  • rien si la réponse donnée est fausse.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée, associe son gain. On appelle gain la différence en euros entre ce qui est reçu et les $5$ € de droit d’inscription.

  1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
  2. Que retourne la fonction Jeu écrite ci-dessous en langage Python avec les listes : $\text{L} = [ -5 ; 5 ; 25]$ et $\text{G} = [0,5625 ; 0,375 ; 0,0625]$ ?
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \textcolor{blue}{\text{def }}\textbf{Jeu}(\text{L,G}):\\
    \hspace{1cm} \text{n = }\textcolor{violet}{\text{len}}(\text{L})\\
    \hspace{1cm} \text{E = }\textcolor{Mahogany}{0}\\
    \hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i}\textcolor{blue}{\text{ in }} \textcolor{violet}{\text{ range}}(\text{n}):\\
    \hspace{2cm} \text{E = E + L[i]*G[i]}\\
    \hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{return}}(\text{E})\\
    \hline
    \end{array}$$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. Le paquet de cartes contenant un nombre identique de cartes de la catégorie « Sciences » et de la catégorie « Économie ».
    Donc $P(S)=\dfrac{1}{2}$
    On sait de plus que $P_S(B)=\dfrac{3}{4}$.
    Donc :
    $\begin{align*} P(B\cap S)&=P(S)\times P_S(B) \\
    &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4}\\
    &=\dfrac{3}{8}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $S$ et $\conj{S}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totale on a :
    $\begin{align*} P(B)&=P(B\cap S)+P\left(B\cap \conj{S}\right) \\
    &=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{8}\\
    &=\dfrac{7}{16}\end{align*}$
    La probabilité que le groupe de copains réponde correctement à la question posée est donc égale à $\dfrac{7}{16}$.
    $\quad$
  3. On a $P_S(B)=\dfrac{3}{4}$ et $P(B)=\dfrac{7}{16}$
    Par conséquent $P_S(B)\neq P(B)$. Les événements $S$ et $B$ ne sont pas indépendants.
    $\quad$

Partie B

  1. La variable aléatoire $X$ peut donc prendre les valeurs $-5$, $5$ et $25$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}P(X=5)&=P(B\cap S) \\
    &=\dfrac{3}{8} \end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=25)&=P\left(B\cap \conj{S}\right) \\
    &=P\left(\conj{S}\right)\times P_{\conj{S}}(B)\\
    &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{8} \\
    &=\dfrac{1}{16}\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=-5)&=1-P(X=5)-P(X=25)\\
    &=1-\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{16}\\
    &=\dfrac{9}{16}\end{align*}$
    $\quad$
    Remarque : Pour calculer $P(X=-5)$ on pouvait également procéder ainsi :
    $B$ et $\conj{B}$ forment un système complet d’événements fini.
    Donc
    $\begin{align*} P(X=-5)&=P\left(\conj{B}\right)\\
    &=1-P(B)\\
    &=1-\dfrac{7}{16}\\
    &=\dfrac{9}{16}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Le programme Python permet de calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$.
    Or :
    $\begin{align*} E(X)&=-5\times P(X=-5)+5\times P(X=5)+25\times P(X=25)\\
    &=-5\times \dfrac{9}{16}+5\times \dfrac{3}{8}+25\times \dfrac{1}{16}\\
    &=0,625\end{align*}$
    Ainsi la fonction retournera la valeur $0,625$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On souhaite fabriquer des boîtes de rangement sans couvercle.
Les boîtes auront la forme d’un parallélépipède rectangle de hauteur $16$ cm et de base un rectangle ayant pour dimensions $x$ et $y$ exprimées en cm. Chaque boîte a un volume de $10~000$ cm$^3$.

  1. Calculer $y$ lorsque $x = 20$ cm.
    $\quad$
  2. Pour toute valeur de $x > 0$, on note $f(x)$ l’aire du parallélépipède rectangle.
    Démontrer que : pour tout $x>0$, $$f(x)=\dfrac{20~000}{x}+32x+625$$
  3. Quelles dimensions doit-on donner à ces boîtes pour que leur surface ait une aire minimale ?
    $\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. Le volume de la boîte est $V=16xy$ avec $V=10~000$
    Ainsi si $x=20$ alors
    $16\times 20y=10~000 \ssi y=31,25$ cm
    $\quad$
  2. $16xy=10~000 \ssi y=\dfrac{10~000}{16x}\ssi y=\dfrac{625}{x}$
    L’aire du parallélépipède rectangle est donc :
    $\begin{align*} f(x)&=2(16x+16y)+xy \quad (*)\\
    &=32x+32y+xy\\
    &=32x+32\times \dfrac{625}{x}+x\times \dfrac{625}{x} \\
    &=625+32x+\dfrac{20~000}{x}\end{align*}$
    $(*)$ la boîte n’a pas de couvercle.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{20~000}{x^2}+32 \\
    &=\dfrac{32x^2-20~000}{x^2}\end{align*}$
    Pour tout $x>0$ on a $x^2>0$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $32x^2-20~000$.
    Or
    $32x^2-20~000>0 \ssi 32x^2 > 20~000 \ssi x^2>625$ $\ssi x>25$ car $x>0$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]0;25]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[25;+\infty[$.
    La surface est minimale quand $x=25$.
    On a alors $y=\dfrac{625}{25}=25$.
    La boîte ayant une aire minimale a pour dimension $25$ cm$\times 25$ cm$\times 16$cm.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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