E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Quelle est la fraction irréductible égale à $\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}$?
$\quad$

Correction Question 1

$\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{21}-\dfrac{14}{21}=-\dfrac{11}{21}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un objet coûte $25$ €. Son prix baisse de $20\%$. Quel est son nouveau prix?
$\quad$

Correction Question 2

$25\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=\dfrac{100}{4}\times \dfrac{80}{100}=20$.
Le nouveau prix est $20$ €.
$\quad$

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$\quad$
Ecrire le nombre suivant sous la forme $a^n$ avec $a,n \in \N$.
$$5^6\times \left(4^3\right)^2$$
$\quad$

Correction Question 3

$5^6\times \left(4^3\right)^2=5^6\times 4^6=20^6$
$\quad$

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$\quad$
Donner un ordre de grandeur de $$101\times 99$$
$\quad$

Correction Question 4

Un ordre de grandeur de $101\times 99$ est $100\times 100=10~000$.
$\quad$

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$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’équation d’inconnue $x$ suivante : $$3x^2-1=48$$
$\quad$

Correction Question 5

$3x^2-1=48 \ssi 3x^2=49 \ssi x^2=\dfrac{49}{3}$.
Les solutions sont donc $-\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}}$ soit $-\dfrac{7}{\sqrt{3}}$ et $\dfrac{7}{\sqrt{3}}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’inéquation d’inconnue $x$ suivante : $$-2x+1\pp 3$$
$\quad$

Correction Question 6

$-2x+1\pp 3 \ssi -2x \pp 2 \ssi x\pg -1$
L’ensemble solution est $[-1;+\infty[$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Factoriser $9x^2-30x+25$
$\quad$

Correction Question 7

$9x^2-30x+25=(3x)^2-2\times 3x\times 5+5^2=(3x-5)^2$
$\quad$

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$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(-x+1)(-2x+4)$.
Déterminer le tableau de signes de $f(x)$.
$\quad$

Correction Question 8

$-x+1=0 \ssi x=1$ et $-x+1>0 \ssi x<1$
$-2x+4=0 \ssi -2x=-4 \ssi x=2$ et $-2x+4>0 \ssi -2x>-4 \ssi x<2$
On obtient donc le tableau de signes suivant :$\quad$

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$\quad$
$\quad$
En utilisant la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[-3;2]$ donnée ci-dessous, résoudre l’inéquation $f(x)\pg 0$.
$\quad$

Correction Question 9

L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\pg 0$ est $[-2;1]$.
$\quad$

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$\quad$
Par lecture graphique donner l’équation réduite de la droite d représentée ci-dessus.
$\quad$

Correction Question 10

L’équation réduite de la droite $d$ est : $y=-\dfrac{1}{2}x-1$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Géométrie – Janvier 2020

E3C – Géométrie

Séries technologiques

Un designer veut réaliser une boite originale pour un bijoutier. Une vue de la boite ouverte est présentée ci-dessous.

Il décide de partir d’un cube $ABCDEFGH$ dont une partie est représentée en annexe.

Terminer la représentation du cube en perspective cavalière en annexe (à remettre avec la copie) en traçant en pointillés les arêtes cachées. Le plan $(ABE)$ est un plan de face.
$\quad$
On se place dans le repère orthonormé de l’espace $(A,B,D,E)$. Dans ce repère on a $A(0,0,0)$ et $G(1,1,1)$. Donner les coordonnées des autres sommets du cube dans ce repère.
$\quad$
On considère les points $I\left(0;\dfrac{2}{3};1\right), J\left(0;0;\dfrac{2}{3}\right)$ et $K\left(1;0;\dfrac{1}{6}\right)$.
Placer les points $I$, $J$ et $K$ sur la figure de l’annexe.
$\quad$
Tracer la section du cube par le plan $(IJK)$. Quelle est la nature de cette section ?
$\quad$
On suppose que $[JK]$ représente la charnière de la boîte et que l’unité de longueur $AB$ vaut $6$ cm.
a. Calculer la longueur $JK$ de la charnière de la boîte.
$\quad$
b. Quelle propriété de la perspective cavalière permet de vérifier la
cohérence de votre résultat sur la figure de l’annexe ? Conclure.
$\quad$

Annexe

$\quad$

Correction Exercice

On obtient la figure suivante :
$\quad$
On a $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $E(0,0,1)$, $F(1,0,1)$ et $H(0,1,1)$.
$\quad$
On obtient la figure suivante :

$\quad$
On obtient la section suivante :

La section est un pentagone.
$\quad$
a. On appelle $L$ le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{1}{6}\right)$.
Le triangle $JKL$ est alors rectangle en $L$.
On a $JL=\dfrac{1}{2}\times 6=3$ cm et $LK=6$ cm.
D’après le théorème de Pythagore on a :
$\begin{align*} JK^2&=LK^2+LJ^2 \\
&=36+9\\
&=45\end{align*}$
Donc $JK=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ cm.
$\quad$
b. On vérifie que dans les longueurs sont conservées dans le plan de face.
$\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un architecte a conçu un bassin aquatique comportant trois marches.
Le contour du bassin, représenté ci-contre dans une « vue du dessus », est constitué d’un demi-cercle de diamètre $[TO]$, de deux segments $[OV]$ et $[VW]$ et d’une courbe $\mathcal{C}$, reliant $T$ à $W$.
Les parties grisées figurent l’emplacement des trois marches.

La situation est représentée en annexe dans le repère orthonormal $(O,I ,J)$, dans lequel :

$V$, $W$ et $T$ sont les points de coordonnées respectives $(6,0)$, $(6,4)$ et $(0,8)$
$\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[0 ; 6]$ par $$f(x)=\dfrac{1}{27}x^3-\dfrac{1}{3}x^2+8$$

On note $f’$ la dérivée de $f$. Montrer que pour tout réel $x$ de $[0;6]$, $f'(x) =\dfrac{1}{9}x(x-6)$.
$\quad$
En déduire les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 6]$.
$\quad$
Déterminer les coefficients directeurs des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d’abscisse $0$ et $6$. Que pouvez-vous en déduire graphiquement ?
$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $3$.
$\quad$
Tracer dans le repère orthonormal $(O,I ,J)$, fourni en annexe (à remettre avec la copie) les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ respectivement au point $T$, au point $W$ et au point d’abscisse $3$ puis tracer l’allure de la courbe $\mathcal{C}$.
$\quad$

Annexe

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout réel $x\in[0;6]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{27}\times 3x^2-\dfrac{1}{3}\times 2x \\
&=\dfrac{1}{9}x^2-\dfrac{2}{3}x\\
&=\dfrac{1}{9}x(x-6)\end{align*}$
$\quad$
Pour tout $x\in[0;6]$ on a donc $x\pg 0$ et $x-6\pp 0$. Ainsi $f'(x)\pp 0$.
La fonction $f$ est donc décroissante sur l’intervalle $[0;6]$.
$\quad$
$f'(0)=0$ et $f'(6)=0$.
Ainsi les coefficients directeurs des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d’abscisse $0$ et $6$ sont tous les deux nuls.
Ces tangentes sont par conséquent parallèles à l’axe des abscisses.
$\quad$
On a $f'(3)=-1$ et $f(3)=6$.
Ainsi une équation de $\mathscr{D}$ est $y=-1(x-3)+6$ soit $y=-x+9$.
$\quad$
On obtient le graphique suivant :$\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Antoine désire partir en vacances et consulte le catalogue d’une agence de voyage.

Le catalogue comprend $400$ références différentes.
$60 \%$ comprennent un forfait « voyage + séjour », les autres ne comprenant que le séjour sur place.
$45 \%$ des références proposant le forfait « voyage + séjour » sont à destination d’un pays d’Amérique du Sud.
Parmi les références incluant uniquement le séjour, $55$ sont à destination d’un pays d’Amérique du Sud, $85$ sont à destination d’un pays d’Asie.
Aucune référence correspondant à une destination en Asie ne propose le forfait « voyage + séjour ».

Compléter le tableau croisé d’effectifs donné en annexe à remettre avec la copie.
$\quad$

Dans la suite de l’exercice, on choisit une référence au hasard et on admet que la répartition du tableau est conservée. Si A est un évènement, on notera $p(A)$ la probabilité de l’évènement $A$ ;
Les résultats seront arrondis au dix millième.

Soit $V$ l’évènement « la référence comprend un forfait « voyage+séjour » » et $A$ l’évènement « la référence correspond à un pays d’Amérique du Sud ».
Calculer $p(A)$ et $p(V)$.
$\quad$
Décrire à l’aide d’une phrase l’événement $V \cap A$ puis déterminer sa
probabilité.
$\quad$
Calculer $p_A(V)$ et interpréter le résultat avec une phrase.
$\quad$
Traduire à l’aide d’une probabilité la phrase : « $45\%$ des références comprenant un forfait « voyage + séjour » correspondent à un pays d’Amérique du Sud ».
$\quad$

Annexe

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\textbf{Voyage + séjour}&\textbf{Séjour uniquement}&\textbf{Total}\\
\hline
\textbf{Amérique du Sud}&&&\\
\hline
\textbf{Asie}&&&\\
\hline
\textbf{Autres destinations}&&&\\
\hline
\textbf{Total}&&&400\\
\hline
\end{array}$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient le tableau suivant :
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\textbf{Voyage + séjour}&\textbf{Séjour uniquement}&\textbf{Total}\\
\hline
\textbf{Amérique du Sud}&108&55&163\\
\hline
\textbf{Asie}&132&85&217\\
\hline
\textbf{Autres destinations}&0&20&20\\
\hline
\textbf{Total}&240&160&400\\
\hline
\end{array}$$\quad$

$\quad$
$p(A)=\dfrac{163}{400}=0,407~5$
$p(V)=0,6$ d’après l’énoncé
$\quad$
$V\cap A$ est l’événement « la référence comprend un forfait « voyage+séjour » et correspond à un pays d’Amérique du Sud».
$p(V\cap A)=\dfrac{108}{400}=0,27$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} p_A(V)&=\dfrac{p(A\cap V)}{p(A)} \\
&=\dfrac{0,27}{0,407~5}\\
&\approx 0,662~6\end{align*}$
La probabilité que la référence corresponde à un forfait « voyage+séjour » sachant qu’elle correspond à un pays d’Amérique du Sud est environ égale à $ 0,662~6$.
$\quad$
On a donc $p_V(A)=0,45$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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