Sujet 03535 – 13

E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Dans un repère du plan, on donne $A(2; 4)$ et $B(6; 16)$.
    Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
    Une équation de cette droite est donc de la forme $y=mx+p$.
    Le coefficient directeur est $m=\dfrac{16-4}{6-2}=3$.
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=3x+p$.
    Or $A(2;4)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Par conséquent $4=3\times 2+p$. Donc $p=-2$.
    $\quad$

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    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-x+3$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
    Déterminer l’ordonnée du point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $f(-3)=2(-3)^2-(-3)+3=18+3+3=24$.
    Le point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$ a pour ordonnée $24$.
    $\quad$

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    $\quad$
  3. Factoriser l’expression $4(x+2)+(x+2)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} 4(x+2)+(x+2)^2&=(x+2)\left[4+(x+2)\right]\\
    &=(x+2)(x+6)\end{align*}$
    $\quad$

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    $\quad$
  4. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=-3x+7$.
    Déterminer l’antécédent de $-11$ par $g$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    On veut résoudre l’équation
    $\begin{align*} g(x)=-11&\ssi -3x+7=-11 \\
    &\ssi -3x=-18\\
    &\ssi x=6\end{align*}$
    L’antécédent cherché est donc $6$.
    $\quad$

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    $\quad$
  5. Après une baisse de $20\%$ un produit coûte $200$ €. Quel était son prix initial?
    $\quad$
    Correction Question 5

    On appelle $P$ son prix initial.
    On a donc :
    $\begin{align*} P\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=200 &\ssi 0,8P=200\\
    &\ssi P=\dfrac{200}{0,8} \\
    &\ssi P = 250\end{align*}$
    Remarque : diviser par $0,8$ revient à diviser par $4$ puis à multiplier par $5$.
    Le produit coûtait donc initialement $250$ €.
    $\quad$

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    $\quad$$\quad$
  6. Calculer $\dfrac{10+10^3}{10}$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{10+10^3}{10}=1+10^2=101$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Résoudre l’équation $x^2=25$
    $\quad$
    Correction Question 7

    Les solutions de l’équation sont $-5$ et $5$.
    $\quad$

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    $\quad$
  8. La formule de l’IMC (indice de masse corporelle; noté $I$) est $I=\dfrac{m}{t^2}$ où $m$ est la masse en kilogramme et $t$ la taille en mètre.
    Exprimer $t$ en fonction de $m$ et de $I$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    On a donc $t^2=\dfrac{m}{I}$ soit, puisque $t$ est positif, $t=\sqrt{\dfrac{m}{I}}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Compléter le tableau de signe de l’expression $(x-1)(x+3)$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$

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    $\quad$
  10. Par lecture graphique, dresser le tableau de variation de la fonction $h$ définie sur $[-6; 6]$ et représentée ci-dessous dans un repère du plan :

    $\quad$

    $\quad$
    Correction Question 10

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Soit $f$ une fonction polynôme du second degré, définie sur $\R$ et représentée par la parabole ci-dessous.

  1. Par lecture graphique :
    a. Donner l’image de $0$ par $f$.
    $\quad$
    b. Déterminer les racines de la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Donner le nombre de solutions de l’équation $f(x)=1$.
    $\quad$
  2. Expliquer pourquoi $f(x)$ peut s’écrire sous la forme $2(x+1)(x-2)$.
    $\quad$
  3. Pour trouver un encadrement de la solution de l’équation $f(x)=1$ dans l’intervalle $[2;3]$ on a écrit les fonctions Python ci-dessous.
    $$\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1&\text{def f(x):}\\
    2&\quad \text{return 2*(x+1)*(x-2)}\\
    3&\text{def balayage(pas):}\\
    4&\quad \text{x=2}\\
    5&\quad \text{while f(x)<1:}\\
    6&\qquad \text{x=x+pas}\\
    7&\quad \text{return (x-pas,x)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Par exemple, l’appel $\text{balayage(1)}$ renvoie le résultat $(2,3)$:
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    >>>~~\text{balayage(1)}\\
    (2,3)\\
    \hline\end{array}$$
    L’instruction $\text{balayage(0.0001)}$ renvoie le résultat $(2.1583,2.1584)$.
    Que signifie ce résultat?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Graphiquement on lit que $f(0)=-4$.
    $\quad$
    b. Graphiquement les racines de la fonction $f$ sont $-1$ et $2$.
    $\quad$
    c. Graphiquement, l’équation $f(x)=1$ possède deux solutions.
    $\quad$
  2. $-1$ et $2$ semblent être les racines de la fonction du second degré $f$.
    Pour tout réel $x$ on peut donc écrire $f(x)=a\left(x-(-1)\right)(x-2)$ soit $f(x)=a(x+1)(x-2)$.
    Ainsi $f(0)=a\times -2$.
    Or $f(0)=-4$ donc $-2a=-4$ soit $a=2$.
    Par conséquent $f(x)=2(x+1)(x-2)$.
    $\quad$
  3. Cela signifie qu’un encadrement à $0,000~1$ près de la solution de l’équation $f(x)=1$ dans l’intervalle $[2;3]$ est $[2,158~3;2,158~4]$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

On veut construire une cuve métallique sans couvercle, à partir d’une plaque carrée de $3$ mètres de côté À chaque coin de la plaque métallique, on découpe un carré de côté $x$ mètres, où $x$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[0 ; 1,5]$. En pliant et en soudant, on obtient une cuve sans couvercle de volume $V(x)$ exprimé en m$^3$.

  1. a. Montrer que l’aire du carré $ABCD$ représenté sur la figure ci-dessus peut s’écrire sous la forme $(3-2x)^2$.
    $\quad$
    b. Montrer que le volume $V(x)$ de la cuve, exprimé en m$^3$, peut s’écrire sous la forme $V(x)=4x^3-12x^2+9x$.
    $\quad$
  2. On note $V’$ la fonction dérivée de $V$.
    a. Calculer $V'(x)$ puis vérifier que $V'(0,5) = 0$ et $V'(1,5)= 0$.
    $\quad$
    b. En déduire les variations de $V$ sur l’intervalle $[0 ; 1,5]$.
    $\quad$
    c. Pour quelle valeur de $x$ le volume de la cuve est-il maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $AB=(3-x-x)=(3-2x)$.
    Par conséquent l’aire du carré $ABCD$ est égale à $(3-2x)^2$.
    $\quad$
    b. Le volume de la cuve est :
    $\begin{align*} V(x)=x\times (3-2x)^2 \\
    &=x\left(9-2\times 3\times 2x+(2x)^2\right)\\
    &=x\left(9-12x+4x^2\right)\\
    &=4x^3-12x^2+9x\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} V'(x)&=4\times 3x^2-12\times 2x+9 \\
    &=12x^2-24x+9\end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} V'(0,5)&=12\times 0,5^2-24\times 0,5+9\\
    &=3-12+9\\
    &=0\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} V'(1,5)&=12\times 1,5^2-24\times 1,5+9\\
    &=27-36+9\\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. $V'(x)$ est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=12>0$ et dont les racines sont $0,5$ et $1,5$.
    Ainsi $V'(x)<0$ sur $]0,5;1,5[$ et $V'(x)>0$ sur $[0;0,5[$
    La fonction $V$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;0,5]$ et décroissante sur l’intervalle $[0,5;1,5]$.
    Elle atteint ainsi son maximum en $0,5$.
    Le volume de la cuve est donc maximal quand $x=0,5$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Un centre de vacances accueille 200 adolescents : parmi eux, $35 \%$ ont choisi l’activité kayak, $25 \%$ l’activité escalade et les autres l’activité équitation. Les filles représentent $30 \%$ des personnes ayant choisi l’activité kayak, $40 \%$ de l’activité escalade et $70 \%$ de l’activité équitation.

  1. À l’aide des données de l’énoncé, compléter le tableau d’effectifs ci-dessous :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &~~\text{Kayak}~~&\text{Escalade}&\text{Équitation}&~~\text{Total}~~\\
    \hline
    \text{Filles}&&&&\\
    \hline
    \text{Garçons}&&&&\\
    \hline
    \text{Total}&&&&200\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Calculer, parmi les filles, la fréquence de celles qui ont choisi l’activité kayak.
    $\quad$
  3. On sélectionne au hasard une personne parmi les $200$ adolescents présents dans le centre.
    a. Calculer la probabilité que la personne sélectionnée soit un garçon qui a choisi l’activité équitation.
    $\quad$
    b. Sachant que la personne sélectionnée est une fille, calculer la probabilité qu’elle ait choisi l’équitation.
    $\quad$
  4. Le centre de vacances, qui peut actuellement accueillir jusqu’à $236$ adolescents, va procéder à un agrandissement de ses locaux afin d’augmenter sa capacité d’accueil de $7 \%$ par an sur les cinq prochaines années.
    Combien d’adolescents le centre de vacances pourra-t-il accueillir après ces cinq années ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &~~\text{Kayak}~~&\text{Escalade}&\text{Équitation}&~~\text{Total}~~\\
    \hline
    \text{Filles}&21&20&56&97\\
    \hline
    \text{Garçons}&49&30&24&103\\
    \hline
    \text{Total}&70&50&80&200\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Parmi les filles, la fréquence de celles qui ont choisi l’activité kayak est $\dfrac{21}{97}$.
    $\quad$
  3. a. La probabilité que la personne sélectionnée soit un garçon qui a choisi l’activité équitation est $\dfrac{24}{200}=0,12$.
    $\quad$
    b. La probabilité que la personne sélectionnée ait choisi l’équitation sachant que c’est une fille est $\dfrac{56}{97}$.
    $\quad$
  4. $236\times \left(1+\dfrac{7}{100}\right)^5\approx 331$
    Après ces cinq années le centre de vacances pourra accueillir $331$ élèves.
    $\quad$

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$\quad$

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