Sujet 03534 – 12

E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Une baisse de $10\%$ suivie d’une baisse de $20\%$ correspond à une baisse globale de $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 2

    Le coefficient multiplicateur associé à cette évolution est :
    $\begin{align*} m&=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)\\
    &=0,9\times 0,8\\
    &=0,72\\
    &=1-0,28\end{align*}$
    Il s’agit donc d’une baisse globale de $28\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. La forme décimale de $\frac{7}{4}\times 10^{-3}$ est
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} \dfrac{7}{4}\times 10^{-3}&=1,75\times 10^{-3} \\
    &=0,001~75\\
    \end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. La fraction irréductible égale à $1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$ est :
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} 1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2&=1-\dfrac{4}{9} \\
    &=\dfrac{5}{9}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Une série statistique est résumée à l’aide du diagramme en boîtes ci-dessous, utilisez-le pour répondre aux questions 4 et 5.

  1. L’écart interquartile de cette série vaut
    $\quad$
    Correction Question 4

    D’après le graphique, l’écart interquartile vaut $55-30=25$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Le pourcentage des valeurs de cette série comprises entre $30$ et $60$ est de :
    $\quad$
    Correction Question 5

    D’après le graphique, le premier quartile est $Q_1=30$ et le maximum vaut $60$.
    Ainsi $75\%$ des valeurs de cette série sont comprises entre $30$ et $60$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $3x-10=x+2$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} 3x-10=x+2 &\ssi 3x-x=2+10\\
    &\ssi 2x=12\\
    &\ssi x=6\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Développer l’expression $(3x-2)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    $\begin{align*} (3x-2)^2&=(3x)^2-2\times 3x\times 2+2^2 \\
    &=9x^2-12x+4\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Factoriser l’expression $x^3+5x$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $x^3+5x=x\left(x^2+5\right)$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  6. Tracer la droite d’équation $y=-2x+3$ dans le repère ci-dessous

    $\quad$
    Correction Question 9

    Si $x=0$ alors $y=-2\times 0+3=3$. Le point $A$ de coordonnées $(0;3)$ appartient donc à la droite $\Delta$.
    Si $x=2,5$ alors $y=-2\times 2,5+3=-2$. Le point $B$ de coordonnées $(2,5;-2)$ appartient à la droite $\Delta$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Dans un repère, on donne $A (5 ; 8)$ et $B (1 ; 0)$, le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
    $\quad$
    Correction Question 10

    $A$ et $B$ ont des abscisses différentes.
    Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{8-0}{5-1} \\
    &=\dfrac{8}{4}\\
    &=2\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une société d’autoroute s’intéresse à l’affluence quotidienne de véhicules au niveau d’un péage.
Des observations menées entre $14$h et $23$h aboutissent au nuage de points ci-dessous représentant le nombre de véhicules présents au péage selon l’heure d’observation.

  1. Pourquoi semble-t-il pertinent de modéliser l’affluence au péage en fonction du temps par une fonction polynôme du second degré ?

Pour la suite, on décide de modéliser le nombre de véhicules présents au péage en fonction de l’heure de la journée $t$, par la fonction définie sur l’intervalle $[14 ; 23]$ par : $$f(t) = -2t^2+74t-600$$

  1. Selon ce modèle, combien de voitures seront présentes au péage à $20$h$00$ ?
    $\quad$
  2. Toujours selon ce modèle, à quelle heure de la demi-journée l’affluence au péage sera–t-elle maximale ? Quel sera alors le nombre de voitures présentes au péage ?

Pour l’affluence du début de journée (entre $t = 0$ et $t = 12$), le modèle choisi est la fonction $g$ définie sur $[0 ; 12]$ par $g(t) = -0,3t^3+5,2t^2-17,3t+18,6$ dont la courbe est fournie en annexe.
Le responsable du péage sait que lorsque l’affluence dépasse $40$ véhicules, il lui est nécessaire pour fluidifier le trafic, d’ouvrir toutes les voies de paiement.

  1. À quelle heure, à $10$ minutes près, l’affluence est-elle maximale en début de journée ? Combien de véhicules sont présents au péage à cet instant ?
    $\quad$
  2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, la tranche horaire durant laquelle toutes les voies doivent être ouvertes.
    $\quad$

Annexe

Le graphique original ne correspondait à la fonction donnée. 

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Les points du graphique semblent être placés sur une parabole. Il semble donc judicieux de modéliser l’affluence au péage par une fonction polynôme du second degré.
    $\quad$
  2. $f(20)=80$
    Selon ce modèle, $80$ voitures seront présentes au péage à $20$h$00$.
    $\quad$
  3. Le coefficient principal de la fonction $f$ est $a=-2<0$.
    La fonction $f$ admet donc un maximum atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=18,5$.
    $f(18,5)=84,5$
    Selon ce modèle, l’affluence au péage sera maximale à $18$h$30$. Environ $85$ voitures seront alors présentes au péage.
    $\quad$
  4. D’après le graphique, l’affluence semble être maximale à environ $9$h$30$.
    Il y a alors environ $66$ voitures au péage à cet instant.
    $\quad$
  5. D’après le graphique, il faut ouvrir toutes les voies entre $6$h$15$ et $12$h.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Le but de cet exercice est d’étudier et de tracer la fonction $f$ définie, pour tout $x$ de l’intervalle $[-1 ; 10]$, par $f(x) = -0,1x^2+1,05x+1,15$.

  1. Compléter le tableau de valeurs fourni en annexe.
    $\quad$
  2. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$. Pour tout $x$ de l’intervalle $[-1 ; 10]$, justifier que l’expression de $f'(x)$ est donnée par : $f'(x)=-0,2x+1,05$.
    $\quad$
  3. Etudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[-1 ; 10]$.
    En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[-1 ; 10]$.
    $\quad$
  4. Déterminer la valeur de $f'(-1)$ puis en déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $-1$.
    $\quad$
  5. Dans le repère fourni en annexe, tracer $T$ puis la courbe représentative de la fonction $f$ en utilisant les résultats des questions précédentes.
    $\quad$

Annexes

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-1&0&1&2&3&4&6&8&10\\
\hline
f(x)&0&&2,1&2,85&&3,75&&&1,65\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-1&0&1&2&3&4&6&8&10\\
    \hline
    f(x)&0&1,15&2,1&2,85&3,4&3,75&3,85&3,15&1,65\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Pour tout $x$ de l’intervalle $[-1;10]$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=-0,1\times 2x+1,05 \\
    &=-0,2x+1,05\end{align*}$
    $\quad$
  3. $f'(x)=0 \ssi -0,2x+1,05=0 \ssi -0,2x=-1,05 \ssi x=5,25$
    $f'(x)>0 \ssi -0,2x+1,05>0 \ssi -0,2x>-1,05 \ssi x<5,25$
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  4. On a $f'(-1)=1,25$
    Une équation de la tangente $T$ est donc $y=1,25\left(x-(-1)\right)+0$ soit $y=1,25(x+1)$.
    $\quad$
  5. On obtient donc le graphique suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

On s’intéresse aux immatriculations de voitures particulières neuves durant l’année 2018 en fonction de leur provenance géographique et de leur type de motorisation.
Les résultats sont partiellement reportés dans le tableau donné en annexe (source Service de la Donnée et des Etudes Statistiques) où l’unité est la centaine de voitures arrondie à l’unité. Ainsi le total global de $21~384$ correspond à environ $2~138~400$ nouvelles immatriculations en France métropolitaine.

  1. L’INSEE précise qu’en 2018 on comptait $38,56 \%$ de voitures Diesel parmi les immatriculations de voitures neuves. A l’aide de cette information, compléter le tableau fourni en annexe. On conservera comme unité la centaine de voitures et les résultats seront arrondis à l’unité.
    $\quad$
  2. Un journaliste spécialisé affirme qu’en 2018 un peu moins d’un quart des voitures particulières neuves hybrides ou électriques ont été immatriculées en Île-de-France.
    Cette déclaration vous semble-t-elle correcte ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  3. Parmi les $137~200$ voitures hybrides ou électriques immatriculées en 2018, on comptait environ $30~900$ purement électriques. On illustre cette situation par un diagramme circulaire donné dans l’annexe 5.
    Quelle est, au degré près, la valeur de l’angle au centre associé à la zone concernant les voitures électriques ?
    $\quad$
  4. Ces chiffres de 2018 permettent aux spécialistes de constater une augmentation de $2,83 \%$ du nombre d’immatriculations de voitures neuves en France métropolitaine par rapport à 2017. Quel était, à la centaine près, le nombre de ces immatriculations en 2017 ?
    $\quad$
  5. Les chiffres de mars 2019 montrent un pourcentage de $6,5 \%$ d’immatriculations de voitures neuves hybrides ou électriques.
    On peut observer que $34 \%$ d’entre elles concernent des voitures purement électriques.
    Quel pourcentage du nombre total des immatriculations de voitures neuves représentent les voitures purement électriques ?
    $\quad$

Annexes

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}&\hspace{0.5cm}\text{Diesel}\hspace{0.5cm}&\hspace{0.35cm}\text{Essence}\hspace{0.35cm}&\begin{array}{c} \text{Hybride ou}\\\text{électrique}\end{array}&\hspace{0.6cm}\text{Total}\hspace{0.6cm}\\
\hline
\rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}\text{Île-de-France}&1~588&1~855&335&3~778\\
\hline
\begin{array}{c}\text{Autres régions}\\\text{de France}\\\text{métropolitaine}\end{array}&&&1~037&17~606\\
\hline
\rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}\text{Total}&&&1~372&21~384\\
\hline
\end{array}$$

 

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}&\hspace{0.5cm}\text{Diesel}\hspace{0.5cm}&\hspace{0.35cm}\text{Essence}\hspace{0.35cm}&\begin{array}{c} \text{Hybride ou}\\\text{électrique}\end{array}&\hspace{0.6cm}\text{Total}\hspace{0.6cm}\\
    \hline
    \rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}\text{Île-de-France}&1~588&1~855&335&3~778\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Autres régions}\\\text{de France}\\\text{métropolitaine}\end{array}&6~658&9~911&1~037&17~606\\
    \hline
    \rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}\text{Total}&8~246&11~766&1~372&21~384\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. $\dfrac{335}{1~372}\approx 0,24$.
    L’affirmation du journaliste semble donc correcte.
    $\quad$
  3. $\dfrac{30~900}{137~200}\times 360\approx 81$.
    L’angle au centre associée à la zone concernant les voitures électriques a une mesure environ égale à $81$ °.
    $\quad$
  4. On appelle $x$ le nombre de nouvelles immatriculations en 2017.
    On a donc $x\times \left(1+\dfrac{2,83}{100}\right)=2~138~400$
    Par conséquent $1,0283x=2~138~400$
    Donc $x=\dfrac{2~138~400}{1,0283}$
    Ainsi $x\approx 2~079~500$
    Il y avait donc eu environ $2~079~500$ nouvelles immatriculations en 2017.
    $\quad$
  5. $0,34\times 0,065=0,022~1=2,21\%$.
    Les voitures purement électriques représentent donc $2,21\%$ du total des immatriculations de voitures neuves en mars 2019.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence