E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Le plan étant muni d’un repère, la droite d’équation $y = 2x-2,5$ passe par le point $A$ d’ordonnée $0$ et d’abscisse :
    A. $-2,5$
    B. $1,5$
    C. $-1,25$
    D. $\dfrac{5}{4}$
    $\quad$
    Correction Question 1

    $2x-2,5=0\ssi 2x=2,5 \ssi x=1,25\ssi x=\dfrac{5}{4}$
    Réponse D
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Une diminution de $50 \%$ est compensée par une augmentation de :
    A. $50 \%$
    B. $100 \%$
    C. $150 \%$
    D. $200 \%$
    $\quad$
    Correction Question 2

    On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*}\left(1-\dfrac{50}{100}\right)\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1&\ssi 0,5\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=2 \\
    &\ssi x=100\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. On considère une augmentation de $5 \%$, deux années consécutives. Le coefficient multiplicateur est :
    A. $1,055$
    B. $1,10$
    C. $1,102~5$
    D. $2,10$
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*}\left(1+\dfrac{5}{100}\right)^2&=1,05^2 \\
    &=1,102~5\end{align*}$
    Remarque : le carré d’un nombre se terminant par $5$ se termine par $25$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Le prix d’un survêtement est passé de $40$ € à $30$ € entre juin 2019 et juillet 2019. Sachant que l’indice du prix de ce survêtement était $80$ en juin 2019, son indice en juillet 2019 est :
    A. $70$
    B. $75$
    C. $90$
    D. $60$
    $\quad$
    Correction Question 4

    On a le tableau de proportionnalité suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \text{Prix}&40&30\\
    \hline
    \text{indice}&80&x\\
    \hline
    \end{array}$$
    $x=\dfrac{30\times 80}{40}=60$
    Réponse D
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  5. Selon une enquête de l’INSEE sur la production de déchets non dangereux dans le commerce en 2016, $75 \%$ des déchets non dangereux du commerce ont été triés en 2016 et $3 \%$ des déchets triés du commerce en 2016 ont été mis en décharge.
    En 2016, le pourcentage de déchets du commerce qui ont été triés et mis en décharge est :
    A. $2,25 \%$
    B. $78 \%$
    C. $39 \%$
    D. $25 \%$
    $\quad$
    Correction Question 5

    $\dfrac{3}{100}\times \dfrac{75}{100}=\dfrac{2,25}{100}=2,25\%$
    Réponse A
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  6. Lors de deux évolution $CM=(1+t)^2. Alors :
    A. $t=\sqrt{CM-1}$
    B. $t=\sqrt{CM}-1$
    C. $t=\sqrt{1-CM}$
    D. $t=1-\sqrt{CM}$
    $\quad$
    Correction Question 6

    On a donc $\sqrt{CM}=1+t$ soit $t=\sqrt{CM}-1$
    Réponse B
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Pour tout réel $x$, $(1-2x)^2$ est égal à :
    A. $1-4x+2x^2$
    B. $4x^2-4x+1$
    C. $1-4x^2$
    D. $1-2x^2$
    $\quad$
    Correction Question 7

    $\begin{align*} (1-2x)^2&=1^2-2\times 1\times 2x+(2x)^2 \\
    &=1-4x+4x^2\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. L’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $-2x+6$ est négatif est :
    A. $[3;+\infty[$
    B. $]-\infty;3]$
    C. $[-3;+\infty[$
    D. $]-\infty;-3]$
    $\quad$
    Correction Question 8

    $-2x+6\pp 0 \ssi -2x\pp -6 \ssi x\pg 3$
    L’ensemble solution est donc $[3;+\infty[$.
    Réponse A
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. On donne la courbe $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie sur $[-3 ; 2]$ :

    L’équation $f(x) = 0$ admet :
    A. une solution négative ;
    B. deux solutions positives ;
    C. deux solutions négatives ;
    D. une solution positive et une solution négative.
    $\quad$

    Correction Question 9

    La courbe $\mathscr{C}$ coupe $2$ l’axe des abscisses : une des abscisses est positive l’autre est négative.
    Réponse D
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Le diagramme en barres ci-dessous donne la production brute d’électricité, en Twh (térawatt-heure) selon son origine (source : INSEE).

    Indiquer la seule proposition vraie :
    A. La quantité d’électricité d’origine hydraulique a diminué entre 2011 et 2016.
    B. La quantité d’électricité d’origine hydraulique était de $575$ Twh en 2006.
    C. La quantité d’électricité d’origine nucléaire n’a pas cessé de diminuer entre 2001 et 2016.
    D. La quantité d’électricité d’origine thermique était d’environ $40$ Twh en 1995.
    $\quad$
    Correction Question 10

    Réponse D
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

La courbe $C_f$ ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-6 ; 14]$.
La droite $T_A$ est la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$.
La droite $T_B$ est la tangente à la courbe $C_f$ au point $B$.

Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes.

  1. Déterminer $f(3)$ et $f'(-3)$.
    Il fallait certainement déterminer $f'(3)$ et non $f'(-3)$
    $\quad$
  2. Déterminer $f(-1)$ et $f'(-1)$.
    $\quad$
  3. Résoudre graphiquement l’équation $f(x) = 6$.
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-6 ; 14]$ en y faisant figurer le signe de $f'(x)$.
    $\quad$
  5. Une seule des trois courbes suivantes peut être la représentation graphique de $f’$, la fonction dérivée de la fonction $f$. Laquelle ? Justifier.

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Graphiquement $f(3)=7$ et $f(3)=0$ (tangente horizontale).
    $f(-3)=1$ : le coefficient directeur à la tangente à la courbe au point d’abscisse $-3$ semble être environ égal à $1$.
    $\quad$
  2. Graphiquement $f(-1)=3$ et $f'(-1)=2$ (le coefficient directeur de $T_A$ semble être égal à $2$).
    $\quad$
  3. Graphiquement $f(x)=6$ a pour solution $1$ et $5$.
    $\quad$
  4. On obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations précédents, c’est la courbe $C_3$ qui représente la fonction $f’$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

L’entreprise SAVEUR fabrique et commercialise de l’extrait de parfum. Elle est en capacité d’en produire jusqu’à $34$ hectolitres par mois. On suppose que toute la production est
vendue.

On modélise le coût de production mensuel, en centaines d’euros, de $x$ hectolitres d’extrait de parfum par la fonction $C$ définie par $C(x)=2x^2+12x+240$, où $x\in[0;34]$.

Chaque hectolitre d’extrait de parfum est vendu $80$ centaines d’euros.

  1. a. Calculer le coût de production mensuel et la recette réalisée par l’entreprise lorsqu’elle produit $6$ hectolitres d’extrait de parfum dans le mois.
    $\quad$
    b. L’entreprise réalise-t-elle un profit lorsqu’elle produit et vend $6$ hectolitres d’extrait de parfum par mois ?
    $\quad$
  2. Démontrer que le bénéfice, en centaines d’euros, pour la vente de $x$ hectolitres d’extrait de parfum, est donné par la fonction $B$ définie par : $B(x)=-2x^2+68x-240$.
    $\quad$
  3. Justifier que, pour tout réel $x\in[0;34], B(x)=(-2x+8)(x-30)$.
    $\quad$
  4. Etudier le signe de $B(x)$, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 34]$, et en déduire la quantité d’extrait de parfum à produire et à vendre pour que l’entreprise ne travaille pas à perte.
    $\quad$
  5. Déterminer le montant, en euros, du bénéfice maximal que peut réaliser l’entreprise en vendant cet extrait de parfum.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $C(6)=384$
    Le coût de production de $6$ hectolitres est de $38~400$ euros.
    $6\times 80=480$.
    La recette réalisée par l’entreprise est alors de $48~000$ euros.
    $\quad$
    b. La recette est supérieure aux coût quand l’entreprise produit et vend $6$ hectolitres d’extrait de parfum par mois. Elle réalise donc un bénéfice.
    $\quad$
  2. Le bénéfice réalisé pour la vente de $x$ hectolitres est :
    $\begin{align*}B(x)&=80x-C(x)\\
    &=80x-2x^2-12x-240\\
    &=-2x^2+68x-240\end{align*}$
    $\quad$
    $\quad$
  3. Pour tout $x\in [0;34]$ on a :
    $\begin{align*} (-2x+8)(x-30)&=-2x^2+60x+8x-240\\
    &=-2x^2+68x-240\\
    &=B(x)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $B(x)$ est un polynôme du second degré dont les racines, d’après l’expression de la question précédente, sont $4$ et $30$. Son coefficient principal est $a=-2<0$.
    Par conséquent :
    – $B(x)>0$ sur $]4;30[$;
    – $B(4)=B(30)=0$;
    – $B(x)<0$ sur $[0;4[\cup]30;34]$.
    L’entreprise doit donc produire et vendre entre $4$ et $30$ hectolitre d’extrait de parfum pour réaliser un bénéfice.
    $\quad$
  5. Le maximum de $B$ est atteint pour $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{68}{4}=17$.
    $B(17)=338$
    Le bénéfice maximal que l’entreprise peut réaliser est donc égal à $33~800$ euros.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

L’annexe est à rendre avec la copie.

Le tableau incomplet, en annexe, donne le nombre de salariés en France, en milliers, selon la catégorie et le type de contrôle de l’entreprise en 2015.

On peut traiter les questions 1. et 2. de façon indépendante.

  1. a. En 2015, $66,8 \%$ des salariés des ETI (entreprises de taille intermédiaire) font partie d’un groupe français.
    Calculer le nombre de salariés des ETI de groupes français.
    $\quad$
    b. Compléter le tableau donné en annexe en arrondissant les résultats au millier près.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un salarié en 2015. On considère les événements suivants :
    $F$ : « le salarié fait partie d’un groupe français » ;
    $M$ : « le salarié fait partie d’une PME ».
    Dans cette question, les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-2}$.
    a. Calculer $P(F)$ et $P(M)$.
    $\quad$
    b. Calculer $P(F\cap M)$ et interpréter, dans le contexte de l’exercice, cette probabilité.
    $\quad$
    c. Calculer $P_M(F)$ et interpréter, dans le contexte de l’exercice, cette probabilité.
    $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{r}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&\begin{array}{c}\textbf{Unités}\\\textbf{légales hors}\\\textbf{groupes}\end{array}&\begin{array}{c}\textbf{Groupes}\\\textbf{français}\end{array}&\begin{array}{c}\textbf{Sous}\\\textbf{contrôle}\\\textbf{d’un groupe}\\\textbf{étranger}\end{array}&\textbf{Total}\\
\hline
\begin{array}{c}\textbf{Grandes entreprise}\\\textbf{(GE)}\end{array}&0&&&4~235\\
\hline
\begin{array}{c}\textbf{Entreprises de taille}\\\textbf{intermédiaire (ETI)}\end{array}&154&&&3~657\\
\hline
\begin{array}{c}\textbf{Petites et moyennes}\\\textbf{entreprises (PME)}\\\textbf{hors mircroentreprises}\end{array}&1~669&2~255&335&4~259\\
\hline
\begin{array}{c}\\\textbf{Microentreprises (MIC)}\\\end{array}&2~549&177&20&2~745\\
\hline
\begin{array}{c}\\\textbf{Total}\\\end{array}&4~373&8~477&2~047&14~897\\
\hline
\end{array}\\
\textit{Source : INSEE 2015}\end{array}$$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $\dfrac{66,8}{100}\times 3~657=2~442,876$
    $2~442~876$ salariés des ETRI font partie d’un groupe français.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{r}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\begin{array}{c}\textbf{Unités}\\\textbf{légales hors}\\\textbf{groupes}\end{array}&\begin{array}{c}\textbf{Groupes}\\\textbf{français}\end{array}&\begin{array}{c}\textbf{Sous}\\\textbf{contrôle}\\\textbf{d’un groupe}\\\textbf{étranger}\end{array}&\textbf{Total}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\textbf{Grandes entreprise}\\\textbf{(GE)}\end{array}&0&3~602&633&4~235\\
    \hline
    \begin{array}{c}\textbf{Entreprises de taille}\\\textbf{intermédiaire (ETI)}\end{array}&154&2~443&1~060&3~657\\
    \hline
    \begin{array}{c}\textbf{Petites et moyennes}\\\textbf{entreprises (PME)}\\\textbf{hors mircroentreprises}\end{array}&1~669&2~255&335&4~259\\
    \hline
    \begin{array}{c}\\\textbf{Microentreprises (MIC)}\\\end{array}&2~549&177&20&2~745\\
    \hline
    \begin{array}{c}\\\textbf{Total}\\\end{array}&4~373&8~477&2~047&14~897\\
    \hline
    \end{array}\\
    \textit{Source : INSEE 2015}\end{array}$$
    Remarque : du fait des arrondis plusieurs lignes et colonnes ne fournissent exactement pas le total annoncé.
    $\quad$
  2. a. $P(F)=\dfrac{8~477}{14~897}\approx 0,57$
    $P(M)=\dfrac{4~259}{14~897}\approx 0,29$
    $\quad$
    b. $P(F\cap M)=\dfrac{2~255}{14~897}\approx 0,15$
    La probabilité qu’un salarié fasse partie d’une PME française est environ égale à $15\%$.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} P_M(F)&=\dfrac{P(F\cap M)}{P(M)}\\
    &=\dfrac{2~255}{4~259} \\
    &\approx 0,53\end{align*}$
    La probabilité qu’un salarié fasse partie d’un groupe français sachant qu’il fait partie d’une PME est environ égale à $0,53$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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