E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Le prix d’un objet est passé de $30$ euros à $36$ euros.
    Calculer le taux d’évolution en pourcentage ?
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\dfrac{36-30}{30}=0,2$.
    Le taux d’évolution est donc égal à $20\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Par combien faut-il multiplier une quantité positive pour que celle-ci diminue de $15\%$ ?
    $\quad$
    Correction Question 2

    Le coefficient multiplicateur est $1-\dfrac{15}{100}=0,85$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Après une augmentation du prix de $10\%$, un article est vendu $44$ euros.
    Quel était le prix de départ?
    $\quad$
    Correction Question 3

    On appelle $P$ le prix de départ. On a donc :
    $\begin{align*} P\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)=44&\ssi 1,1P=44 \\
    &\ssi P=\dfrac{44}{1,1}\\
    &\ssi P=40\end{align*}$
    Le prix de départ était de $40$ euros.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Résoudre dans $\R$ l’équation suivante : $2(x-3)-4=7x$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    $\begin{align*} 2(x-3)-4=7x&\ssi 2x-6-4=7x\\
    &\ssi -10=5x\\
    &\ssi x=-2\end{align*}$
    La solution de l’équation est $-2$.
    $\quad$

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    $\quad$
  5. Résoudre dans $\R$ l’équation suivante $(x+1)^2=7$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $\begin{align*} (x+1)^2=7 &\ssi x+1=\sqrt{7} \text{ ou } x+1=-\sqrt{7}\\
    &\ssi x=\sqrt{7}-1 \text{ ou } x=-\sqrt{7}-1\end{align*}$
    Les solutions de l’équation sont $\sqrt{7}-1$ et $-\sqrt{7}-1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  6. Résoudre dans $\R$ l’inéquation $2(x-1) \pp -3x+8$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} 2(x-1) \pp -3x+8 &\ssi 2x-2 \pp -3x+8 \\
    &\ssi 5x\pp 10 \\
    &\ssi x\pp 2\end{align*}$
    L’ensemble solution est $]-\infty;2]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Déterminer l’équation réduite de la droite $\Delta$ représentée ci-dessous.

    $\quad$
    Correction Question 7

    L’ordonnée à l’origine est $2$.
    La droite passe par les points de coordonnées $(0;2)$ et $(1;-1)$.
    Le coefficient directeur est donc :
    $\begin{align*} a&=\dfrac{2-(-1)}{0-1}\\
    &=-3\end{align*}$
    Ainsi l’équation réduite de $\Delta$ est $y=-3x+2$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Étudier le signe de l’expression $(10x-7)(-x+3)$ sur $\R$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $10x-7=0 \ssi 10x=7 \ssi x=0,7$ et $10x-7>0 \ssi 10x>7\ssi x>0,7$.
    $-x+3=0 \ssi x=3$ et $-x+3>0 \ssi x<3$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Pour les questions 9 et 10, on considère la situation suivante :
Entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020, une agence bancaire a étudié nombre de paiements effectués par $500$ de ses clients en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire. Elle a obtenu le diagramme en barres ci-dessous.

  1. Combien de clients ont effectué $28$ paiements en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020 ?
    $\quad$
    Correction Question 9

    D’après le graphique, $20$ clients ont effectué $28$ paiements « sans contact ».
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Combien de clients ont effectué au moins $30$ paiements en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020 ?
    $\quad$
    Correction Question 10

    $10+14+8=32$.
    $32$ clients ont effectué au moins $30$ paiement en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

  1. Antonella prend tous les jours sa voiture pour se rendre au travail. Il rencontre sur son trajet $3$ feux tricolores qui fonctionnent tous les trois de la même manière et de façon indépendante. Des relevés statistiques ont permis d’établir que pour chaque feu la
    probabilité qu’il soit vert lorsqu’Antonella s’y présente est égale à $0,6$.
    $V$ désigne l’événement : « le feu est vert » et $\conj{V}$ l’événement contraire.
    a. Illustrer par un arbre de probabilité l’expérience aléatoire consistant à rencontrer successivement les trois feux.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité qu’Antonella rencontre $3$ feux verts ?
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité qu’Antonella rencontre au moins un feu vert ?
    $\quad$
  2. Une tombola a été organisée par l’Amicale des personnels de la société dans laquelle Antonella travaille. $200$ billets ont été mis en vente et ils ont été tous vendus.
    Chaque billet était vendu au tarif unique de $5$ euros.
    Parmi ces $200$ billets, un billet permet de gagner $100$ euros, $5$ billets permettent, chacun, de gagner $20$ euros, $20$ billets permettent, chacun, de gagner $5$ euros et enfin les autres billets
    sont tous perdants.
    Soit $X$ la variable aléatoire associant à chaque billet le gain algébrique du joueur. On rappelle que le gain algébrique est la différence entre le montant gagné à l’issue du jeu et la mise.
    a. Donner les différentes valeurs prises par $X$.
    $\quad$
    b. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. La probabilité qu’Antonella rencontre $3$ feux verts est égale à $0,6^3=0,216$.
    $\quad$
    c. La probabilité qu’Antonella ne rencontre aucun feu vert est égale à $0,4^3=0,064$.
    La probabilité qu’Antonella rencontre au moins un feux vert est égale à $1-0,064=0,936$.
    $\quad$
  2. a. $X$ peut prendre les valeurs $-5;0;15$ et $95$.
    $\quad$
    b. $P(X=95)=\dfrac{1}{200}$
    $P(X=15)=\dfrac{5}{200}=\dfrac{1}{40}$
    $P(X=0)=\dfrac{20}{200}=\dfrac{1}{10}$
    $P(X=-5)=1-\left(P(X=95)+P(X=15)+P(X=0)\right)=\dfrac{887}{100}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise fabrique ? tonnes d’un certain produit, avec $x\in ∈ [0 ; 20]$. Le coût total de production de $x$ tonnes de produit, exprimé en milliers d’euros, est donné par : $$C(x)=x^3-30x^2+300x$$

  1. On suppose que toute la production est vendue. La recette totale, exprimée en milliers d’euros, est donnée par la fonction $r$ définie sur $[0 ; 20]$ par : $r(x) = 108x$. La fonction associée au bénéfice exprimé en milliers d’euros est donnée par la fonction $B$ définie pour tout $x$ de $[0 ; 20]$ par $B(x) = r(x)-C(x)$.
    Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à $[0 ; 20]$, on a : $B(x) = -x^3+30x^2-192x$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout $x$ de $[0 ; 20]$, la fonction dérivée associée au bénéfice $B$ admet comme expression $B'(x)=3(4-x)(x-16)$.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variations sur $[0 ; 20]$, de la fonction $B$.
    $\quad$
  4. En déduire la quantité que l’entreprise doit fabriquer et vendre pour obtenir un bénéfice maximal. Donner la valeur en milliers d‘euros de ce bénéfice.
    $\quad$
  5. Le directeur commercial de cette entreprise souhaite déterminer les quantités à produire et à vendre pour obtenir un bénéfice strictement positif. Il affirme que si l’entreprise fabrique et vend entre $8$ et $20$ tonnes de produit, alors son objectif est atteint, à savoir le bénéfice est strictement positif. Le chef de production quant à lui affirme qu’il faudrait fabriquer et vendre entre $10$ et $20$ tonnes pour atteindre l’objectif.
    Pour chacune des deux affirmations, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x\in[0;20]$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x) \\
    &=108x-\left(x^3-30x^2+300x\right)\\
    &=108x-x^3+30x^2-300x\\
    &=-x^3+30x^2-192x\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction $B$ est dérivable sur $[0;20]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout $x\in[0;20]$ on a d’une part :
    $\begin{align*} B'(x)&=-3x^2+30\times 2x-192\\
    &=-3x^2+60x-192\end{align*}$
    D’autre part :
    $\begin{align*} 3(4-x)(x-16)&=3\left(4x-64-x^2+16x\right) \\
    &=12x-192-3x^2+48x\\
    &=-3x^2+60x-192\end{align*}$
    Ainsi $B'(x)=3(4-x)(x-16)$.
    $\quad$
  3. $4-x=0 \ssi x=4$ et $4-x>0 \ssi x<4$
    $x-16=0 \ssi x=16$ et $x-16>0 \ssi x>16$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. D’après le tableau de variations précédent, le bénéfice est maximal quand l’entreprise produit et vend $16$ tonnes de produit. Le bénéfice maximal est alors égal à $512~000$ euros.
    $\quad$
  5. On a $B(8)=-128<0$ l’affirmation du directeur commercial est donc fausse.
    On a $B(10)=80$. Sur l’intervalle $[4;16]$ la fonction $B$ est strictement croissante. Donc sur $[10;80]$ on a bien $B(x)>0$.
    De plus sur $[16;20]$ on a $B(x)\pg 160$.
    L’affirmation du chef de production est donc vraie.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Géométrie – Janvier 2020

E3C – Géométrie

Séries technologiques

L’objectif de cet exercice est de représenter en perspective cavalière la sculpture de Victor Vasarely représentée en photo ci-dessous avec uniquement les cercles extérieurs sur chaque face visible.

La figure donnée en annexe, qui est à rendre avec la copie, représente le cube de Vasarely en perspective cavalière sur lequel sont représentées les cercles inscrits des faces $ABFE$ et de $BCGF$.

  1. Sur figure donnée en annexe, on considère le cercle inscrit dans la face $ABFE$.
    Tracer la tangente $(t)$ en $M$ à ce cercle et montrer que $(t)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Justifier que $OM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}OA$.
    $\quad$
  3. Sur la face $ABCD$, construire le centre $O’$ de la face $ABCD$.
    $\quad$
  4. Le cercle inscrit dans la face $ABCD$ coupe respectivement les segments $[O’D]$, $[O’C]$, $[O’B]$ et $[O’A]$ en $M’$, $N’$, $P’$ et $Q’$.
    En utilisant les résultats établis dans la partie A (note personnelle : il s’agit du texte original !) et en effectuant les mesures nécessaires, construire ces points $M’$, $N’$, $P’$ et $Q’$.
    $\quad$
  5. Tracer ensuite les tangentes au cercle inscrit dans la face $ABCD$ en ces mêmes points en justifiant la construction, puis terminer le tracé de l’ellipse représentant le cercle inscrit dans le carré $ABCD$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient la figure suivante :
    $(t)$ est par définition perpendiculaire au rayon $[OM]$.
    Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires. Donc $[OM]$ et $(BE)$ sont perpendiculaires.
    Par conséquent, $(t)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $AEF$ rectangle en $E$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AF^2=AE^2+EF^2$.
    $ABFE$ est un carré donc $AE=EF$
    Par conséquent $AF^2=2AE^2$. $AF$ et $AE$ sont des longueurs; elles sont des positives.
    Ainsi $AF=AE\sqrt{2} \ssi AE=\dfrac{1}{\sqrt{2}} AF\ssi AE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AF$
    Or $AF=2AO$ et $AE=2OM$ (car $[OM]$ est un rayon du cercle comme $[OI]$
    Ainsi $2OM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times 2AO \ssi OM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}OA$.
    $\quad$
  3. Voir figure plus bas
    $\quad$
  4. Voir figure plus bas
    On a $O’N’=O’Q’=\dfrac{\sqrt{2}}{2}O’A$ et $O’M’=O’P’=\dfrac{\sqrt{2}}{2}O’D$.
    $\quad$
  5. Les tangentes sont parallèles aux diagonales $[AC]$ et [BD]$.

[collapse]

$\quad$

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