Sujet 02650 – 54

E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Si $\sin x=\dfrac{1}{3}$ alors

a. $\sin(x+\pi)=-\dfrac{1}{3}$
b. $\sin(x-\pi)=\dfrac{1}{3}$
c. $\cos(x)=\dfrac{2}{3}$
d. $\sin(x+15\pi)=\dfrac{1}{3}$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$
Donc $\sin(x+\pi)=-\dfrac{1}{3}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Parmi les paraboles ci-dessous laquelle représente une fonction qui n’admet aucune racine ?

$\quad$

Correction Question 2

Seule la courbe d. ne touche ou ne traverse l’axe des abscisses.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x)=2x-\dfrac{1}{x}$.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $1$
b. $3$
c. $-1$
d. $0$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$, on a $f'(x)=2+\dfrac{1}{x^2}$.
Par conséquent $f'(1)=3$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2-2x+y^2+6y+2=0$ est :

a. une parabole
b. le cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(-1; 3)$ et de
rayon $8$.
c. le cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(1; -3)$ et
de rayon $2\sqrt{2}$.
d. une droite

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} &x^2-2x+y^2+6y+2=0 \\
\ssi~& x^2-2x+1-1+y^2+6y+9-9+2=0\\
\ssi~& (x-1)^2+(y+3)^2=8\\
\ssi~& (x-1)^2+\left(y-(-3)\right)^2=\left(2\sqrt{2}\right)^2\end{align*}$

Il s’agit du cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(1; -3)$ et
de rayon $2\sqrt{2}$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ donnant le gain en euros, d’un joueur, à un jeu, est donnée par le tableau suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x_i&-10&6&10\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&~~\dfrac{1}{4}~~&~~\dfrac{3}{8}~~&~~\dfrac{3}{8}~~\\
\hline
\end{array}$$
Sur un grand nombre de parties, le gain moyen que peut espérer le joueur est :

a. $3,5$ euros
b. $4$ euros
c. $2$ euros
d. $6$ euros

$\quad$

Correction Question 5

L’espérance mathématiques de la variable aléatoire $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-10\times \dfrac{1}{4}+6\times \dfrac{3}{8}+10\times \dfrac{3}{8}\\
&=3,5\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Le directeur d’une maternité en milieu rural a enregistré $900$ accouchements entre le 1$\ier$ janvier 2019 et le 31 décembre 2019.

Depuis déjà $10$ ans, il constate que le nombre d’accouchements baisse d’environ $4 \%$ chaque année par rapport à l’année précédente.

En supposant que cette diminution se poursuive avec ce même taux les prochaines années, il modélise le nombre d’accouchements de cette maternité pour l’année 2019 $+n$ à l’aide du $n$-ième terme d’une suite $\left(u_n\right)$. Il a ainsi $u_0 = 900$.

  1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison
    $\quad$.
  2. On considère la fonction $\text{Suite}$ définie ci-dessous en langage Python.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    \textcolor{Aquamarine}{1}&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Suite(n):}\\
    \textcolor{Aquamarine}{2}&\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{900}\\
    \textcolor{Aquamarine}{3}&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{violet}{\text{range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
    \textcolor{Aquamarine}{4}&\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{0.96}\text{*u}\\
    \textcolor{Aquamarine}{5}&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\\
    \hline\end{array}$$
    Quelle sera la valeur obtenue pour $\text{Suite(5)}$ ?
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Le directeur sait que la maternité devra fermer dès que le nombre d’accouchements deviendra inférieur à $600$.
    Avec ce modèle, la maternité sera-t-elle fermée en 2030 ? Justifier.
    $\quad$
  5. Selon ce modèle, en quelle année la maternité fermera-t-elle ses portes ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)u_n \\
    &=0,96u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$. et de premier terme $u_0=900$.
    $\quad$
  2. L’appel $\text{Suite(5)}$ renvoie la valeur de $u_5$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=900\times 0,96^n$.
    Donc $u_5=900\times 0,96^5 \approx 734$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=900\times 0,96^n$.
    $\quad$
  4. En 2030, on a $n=11$.
    $u_{11}=900\times 0,96^{11}\approx 574$
    Ainsi, $u_{11}<600$
    La maternité sera donc fermée en 2030.
    $\quad$
  5. $0<0,96<1$ et $u_0>0$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $u_9\approx  623$ et $u_{10}\approx 598$
    Ainsi la maternité fermera ses portes en 2029.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit la fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par $f(x)=4x\e^{-x}$.

  1. On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé d’origine $0$.

    Conjecturer une valeur approchée du maximum de $f$ sur $[0 ; 3]$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; 3]$.
    Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0; 3]$,  $f'(x)=4(1-x)\e^{-x}$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de signes de $f'(x)$ sur $[0 ; 3]$.
    $\quad$
  4. En déduire le tableau des variations de $f$ sur $[0 ; 3]$ puis la valeur exacte du maximum de $f$ sur $[0 ; 3]$.
    $\quad$
  5. Soit $A$ le point d’abscisse $1$ de $C_f$ et soit $t$ la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $0,5$.
    Qui, de la droite $(AO)$ ou de la droite $t$, a le plus grand coefficient directeur ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Il semblerait, graphiquement, que le maximum de $f$ soit environ égal à $1,45$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;3]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=4\e^{-x}+4x\times (-x)\e^{-x}\\
    &=(4-4x)\e^{-x} \\
    &=4(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi x<1$
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

    $\quad$
  4. Voir tableau précédent
    Le maximum est $4\e^{-1}$.
    $\quad$
  5. Le coefficient directeur de la $(AO)$ est :
    $\begin{align*} a&=\dfrac{4\e^{-1}-0}{1-0}\\
    &=4\e^{-1}\\
    &\approx 1,47\end{align*}$
    Le coefficient directeur de $t$ est :
    $\begin{align*} f'(0,5)&=2\e^{-0,5}\\
    &\approx 1,21\end{align*}$
    La droite $(AO)$ a donc le plus grand coefficient directeur.
    $\quad$
    Remarque : $f'(0,5)=\dfrac{2}{\sqrt{e}}$ et $a=\dfrac{4}{\e}$ ainsi $a=\left(f'(0,5)\right)^2$.
    Or $\dfrac{2}{\sqrt{e}}>1$ donc $a>f'(0,5)$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

$150$ élèves d’un établissement sont inscrits aux activités du midi :

  • $30$ sont inscrits en musique.
  • $45$ sont inscrits en sport
  • $75$ sont inscrits en cinéma.

Chaque élève pratique une et une seule activité.
Parmi les élèves inscrits en musique, $30 \%$ sont des filles.
Parmi les élèves inscrits en sport, $60 \%$ sont des filles.
Parmi les élèves inscrits en cinéma, $72 \%$ sont des filles.

On choisit au hasard un élève inscrit aux activités du midi.
On note :

  • $F$ l’événement : « l’élève choisi est une fille »,
  • $M$ l’événement : « l’élève choisi est inscrit en musique »,
  • $S$ l’événement : « l’élève choisi est inscrit en sport »,
  • $C$ l’événement : « l’élève choisi est inscrit en cinéma ».
  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré représentant la situation.

    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que l’élève choisi soit une fille inscrite en musique.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que l’élève choisi soit une fille est égale à $0,6$.
    $\quad$
  4. Les évènements $M$ et $F$ sont-ils indépendants ?
    $\quad$
  5. Sachant que l’élève choisi est un garçon, calculer la probabilité qu’il soit inscrit en cinéma.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(M\cap F)&=P(M)\times P_M(F) \\
    &=0,2\times 0,3\\
    &=0,06\end{align*}$
    La probabilité que l’élève choisi soit une fille inscrite en musique est égale à $0,06$.
    $\quad$
  3. $M$, $S$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(F)&=P(M\cap F)+P(S\cap F)+P(C\cap F)\\
    &=0,06+0,3\times 0,6+0,5\times 0,72\\
    &=0,6\end{align*}$
    La probabilité que l’élève choisi soit une fille est égale à $0,6$.
    $\quad$
  4. $P(M)\times P(F)=0,12$ et $P(M\cap F)=0,06$
    Il n’y a pas égalité. Les événements $M$ et $F$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{F}}(C)&=\dfrac{P\left(\conj{F}\cap C\right)}{P\left(\conj{F}\right)} \\
    &=\dfrac{0,5\times 0,28}{1-0,6} \\
    &=0,35\end{align*}$
    La probabilité que l’élève soit inscrit en cinéma sachant que c’est un garçon est égale à $0,35$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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