E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0=2$ et de raison $0,9$.
On a :

a. $u_{50}=47$
b. $u_{50}=100,9$
c. $u_{50}=-47$
d. $u_{50}=-100,9$

$\quad$

Correction Question 1

On a $u_{50}=2+50\times 0,9=47$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0= 2$ et de raison $0,9$.
La somme des $37$ premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$ est :

a. $2\times \dfrac{1-0,9^{38}}{1-0,9}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}1}{\dfrac{1}{1}}}$
b. $2\times \dfrac{1-0,9^{37}}{1-0,9}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}1}{\dfrac{1}{1}}}$
c. $0,9\times \dfrac{1-2^{38}}{1-2}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}1}{\dfrac{1}{1}}}$
d. $0,9\times \dfrac{1-2^{38}}{1-2}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}1}{\dfrac{1}{1}}}$

$\quad$

Correction Question 2

La somme est égale à : $2\times \dfrac{1-0,9^{37}}{1-0,9}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Un programme en langage Python qui retourne la somme des entiers de
$1$ à $100$ est :

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\text{def }}\text{Somme():}\\
\hspace{1cm} \text{s=}\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{while }}\text{s<}\textcolor{Mahogany}{100}\text{:}\\
\hspace{2cm}\text{s= s}\textcolor{Mahogany}{+1}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(s)}\end{array}&\hspace{1cm}\textbf{b.}&\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\text{def }}\text{Somme():}\\
\hspace{1cm} \text{s=}\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{while }}\text{s<}\textcolor{Mahogany}{100}\text{:}\\
\hspace{2cm}\text{s= }\textcolor{Mahogany}{2}\text{*s}\textcolor{Mahogany}{+1}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(s)}\end{array}\\\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\text{def }}\text{Somme():}\\
\hspace{1cm} \text{s=}\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{purple}{\text{range}}\text{(}\textcolor{Mahogany}{101}\text{):}\\
\hspace{2cm}\text{s= s+k}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(s)}\end{array}&\hspace{1cm}\textbf{d.}&\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\text{def }}\text{Somme():}\\
\hspace{1cm} \text{s=}\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{purple}{\text{range}}\text{(}\textcolor{Mahogany}{100}\text{):}\\
\hspace{2cm}\text{s= s+k}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(s)}\end{array}
\end{array}$

$\quad$

Correction Question 3

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 4

On a $x\in\left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]$ et $\cos x=0,8$, alors :

a. $\sin x=0,6$
b. $\sin x=-0,6$
c. $\sin x=-0,2$
d. $\sin x=0,2$

$\quad$

Correction Question 4

$x\in\left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]$ donc $\sin x<0$

Pour tout réel $x$ on a $\cos^2x+\sin^2x=1$
Ainsi :
$0,8^2+\sin^2x=1 \ssi \sin^2x=0,36$
Donc $\sin x=0,6$ ou $\sin x=-0,6$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Le nombre réel $\dfrac{13\pi}{4}$ est associé au même point du cercle trigonométrique que le réel :

a. $\dfrac{-14\pi}{4}$
b. $\dfrac{-3\pi}{4}$
c. $\dfrac{7\pi}{4}$
d. $\dfrac{19\pi}{4}$

$\quad$

Correction Question 5

$a$ et $b$ sont associé au même point du cercle trigonométrique si, et seulement si, il existe $k\in \Z$ tel que $a-b=2k\pi$.

$\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{-14\pi}{4}=\dfrac{27\pi}{4}$
$\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{-3\pi}{4}=4\pi \checkmark$
$\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{7\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{2}$
$\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{19\pi}{4}=-\dfrac{3\pi}{2}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Le dépistage d’une maladie particulière que l’on appelle M s’effectue par un test basé sur le dosage d’une hormone particulière. D’après une étude, cette maladie M touche $1,5 \%$ de la population.

Si une personne est atteinte par la maladie M, le test sera positif dans $95 \%$ des cas ;
alors que si la personne n’est pas atteinte par la maladie M, le test sera négatif dans $99 \%$ des cas.

On soumet à ce test une personne prise au hasard dans la population.

On note :

$A$ l’évènement « La personne est atteinte par la maladie M.» ;
$T$ l’évènement « Le test est positif.».

Déterminer la probabilité pour que le test soit positif et que la personne choisie ne soit pas malade.
$\quad$
Déterminer la probabilité pour que le test soit positif.
$\quad$
Calculer $P_T\left(\conj{A}\right)$ (Arrondir à $10^{-3}$ près). Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $P\left(\conj{A}\right)=0,985$ et $P_{\conj{A}}(T)=0,01$.
Par conséquent :
$\begin{align*} P(T\cap \conj{A})&=P\left(\conj{A}\right)\times P_{\conj{A}}(T) \\
&=0,985\times 0,01\\
&=0,009~85\end{align*}$
La probabilité pour que le test soit positif et que la personne choisie ne soit pas malade est égale à $0,009~85$.
$\quad$
$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(T)&=P(A\cap T)+P\left(\conj{A}\cap T\right) \\
&=0,014~25+0,985\times 0,01\\
&=0,024~1\end{align*}$
La probabilité pour que le test soit positif est égale à $0,024~1$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P_T\left(\conj{A}\right)&=\dfrac{P\left(T\cap \conj{A}\right)}{P(T)} \\
&=\dfrac{0,985\times 0,01}{0,024~1}\\
&\approx 0,409\end{align*}$
La probabilité que la personne ne soit pas malade sachant que le test est positif est environ égale à $0,409$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2-2,5x+1\right)\e^x$
.

On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
a. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\left(x^2-0,5x-1,5\right)\e^x$.
$\quad$
b. Étudier les variations de $f$ sur $\R$.
$\quad$
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative dans un repère et $\mathcal{T}$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $0$.
a. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{C}_f$.
$\quad$
b. On admet que la tangente $\mathcal{T}$ recoupe la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $P$ d’abscisse $a$ strictement positive. A l’aide de votre calculatrice, donner un encadrement de $a$ au dixième près.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=(2x-2,5)\e^x+\left(x^2-2,5x+1\right)\e^x\\
&=\left(2x-2,5+x^2-2,5x+1\right)\e^x\\
&=\left(x^2-0,5x-1,5\right)\e^x\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2-0,5x-1,5$.
Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
Son discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=(-0,5)^2-4\times 1\times (-1,5)\\
&=6,25\\
&>0\end{align*}$
Il possède deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{0,5-\sqrt{6,25}}{2}\\
&=-1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{0,5+\sqrt{6,25}}{2}\\
&=1,5\end{align*}$
Ainsi :
$\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]-\infty;-1[\cup]1,5;+\infty[$
$\bullet$ $f'(-1)=f'(1,5)=0$
$\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]-1;1,5[$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;-1]\cup[1,5;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;1,5]$.
$\quad$
a. Une équation de $\mathcal{T}$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
$f(0)=1$ et $f'(0)=-1,5$.
Une équation de la droite $\mathcal{T}$ est donc $y=-1,5x+1$.
$\quad$
b. D’après la calculatrice $a\approx 1,8$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le centre commercial « L’autre faubourg » de Cholet a été conçu en forme circulaire de $110$ m de rayon permettant une visibilité à $360$° et une accessibilité optimale, notamment aux personnes à mobilité réduite.

Le parking, situé à l’intérieur du disque, dessert l’ensemble des $32$ magasins.

On munit le plan d’un repère orthonormé de centre $O$.

L’unité est le mètre.

Les entrées des magasins du centre commercial sont situées sur le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $110$.

Une allée centrale couverte a été construite afin de permettre aux automobilistes de rejoindre les magasins en cas d’intempéries. Elle est modélisée par la droite $(AD)$ avec $A(-30; 15)$ et $D(80; -40)$.
a. Déterminer une équation du cercle $\mathcal{C}$.
$\quad$
b. Démontrer que le point $O$ appartient à la droite $(AD)$.
$\quad$
Camille qui vient de garer sa voiture en $G(-10; -10)$ sous une pluie battante, souhaite se mettre à l’abri sous cette allée centrale, le plus rapidement possible.
a. Calculer le produit scalaire $\vect{AG}.\vect{AO}$
$\quad$
b. Le point de la droite $(AD)$ le plus proche de $G$ est-il $O$ ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. Une équation du cercle $\mathcal{C}$ est $(x-0)^2+(y-0)^2=110^2$ soit $x^2+y^2=12~100$.
$\quad$
b. $\vect{AO}\begin{pmatrix}30\\-15\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix}110\\-55\end{pmatrix}$
$\begin{align*}\text{det}\left(\vect{AO},\vect{AD}\right)&=30\times (-55)-(-15)\times 110 \\
&=-1~650+1~650\\
&=0\end{align*}$
Ces deux vecteurs sont donc colinéaires.
Le point $O$ appartient bien à la droite $(AD)$.
$\quad$
a. $\vect{AG}\begin{pmatrix}20\\-25\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AG}.\vect{AO}&=20\times 30+(-15)\times (-25)\\
&=600+375\\
&=975\end{align*}$
$\quad$
b. $\vect{OG}\begin{pmatrix} -10\\-10\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{AO}.\vect{OG}&=30\times (-10)+(-15)\times (-10)\\
&=-300+150\\
&=-150\\
&\neq 0\end{align*}$
Le point $O$ n’est donc pas le projeté orthogonal du point $G$ sur la droite $(AD)$.
Par conséquent $O$ n’est pas le point de la droite $(AD)$ le plus proche de $G$.
$\quad$
Autre solution : Si $O$ est le point le plus proche de $G$ alors $O$ est le projeté orthogonal de $G$ sur la droite $(AD)$.
On a alors $\vect{AO}.\vect{OG}=\vect{AO}.\vect{AO} = AO^2$
Or $AO^2=(-30)^2+15^2=1~125$
OR $1~125\neq 975$
Le point $O$ n’est donc pas le projeté orthogonal du point $G$ sur la droite $(AD)$.
Par conséquent $O$ n’est pas le point de la droite $(AD)$ le plus proche de $G$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence