E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n’est attendue.
Une réponse juste rapporte un point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlèvent pas de point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, un vecteur normal à la droite d’équation $4x+5y-32=0$ est le vecteur :

a. $\vec{v}\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}$
b. $\vec{v}\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}$
c. $\vec{v}\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}$
d. $\vec{v}\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur normal à la droite d’équation $4x+5y-32=0$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé, le projeté orthogonal du point $A(7 ; 9)$ sur la droite d’équation $4x+5y-32=0$ est le point :

a. $H(7;0,8)$
b. $H(3;4)$
c. $H(4;3,2)$
d. $H(4,5)$

$\quad$

Correction Question 2

Le point $H$ doit appartenir à la droite. On exclut donc la réponse d. puisque les coordonnées du point de vérifient pas l’équation de la droite.
Un vecteur normal à la droite est $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}$
Le vecteur $\vect{AH}$ doit être colinéaire à $\vec{n}$
Si $H(3;4)$ alors $\vect{AH}\begin{pmatrix}-4\\-5\end{pmatrix}$. Par conséquent $\vect{AH}=-\vec{n}$.
Ces deux vecteurs sont bien colinéaires.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé, une équation du cercle de centre $A(-1 ; 3)$ et de rayon $2$ est :

a. $x^2-1+y^2=2^2$
b. $x^2+2x+1+y^2-6y+9=2$
c. $(x+1)^2+(y-3)^2=2^2$
d. $(x-1)^2+(y+3)^2=2^2$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation de ce cercle est $\left(x-(-1)\right)^2+(y-3)^2=2^2$ soit $(x+1)^2+(y-3)^2=2^2$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé, la parabole d’équation $y=3x^2-9x+5$ a pour sommet le point $S$ et pour axe de symétrie la droite $\Delta$. Les coordonnées de $S$ et l’équation de $\Delta$ sont :

a. $S\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{7}{4}\right)$ et $\Delta:x=\dfrac{3}{2}$
b. $S\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{7}{4}\right)$ et $\Delta:y=-\dfrac{7}{4}$
c. $S(3;5)$ et $\Delta:x=3$
d. $S(3;5)$ et $\Delta:y=5$

$\quad$

Correction Question 4

L’abscisse du point $S$ est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-9}{6} \\
&=\dfrac{3}{2}\end{align*}$
La droite $\Delta$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Une équation de $Delta$ est donc $x=x_S$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère l’inéquation $-3x^2+9x-5>0$. L’ensemble $S$ des solutions de cette inéquation est ($x_1$ et $x_2$ sont deux réels tels que $x_1<x_2$ pour les propositions b) et d)) :

a. $\emptyset$
b. de la forme $\left]-\infty;x_1\right[\cup\left]x_2;+\infty\right[$
c. $\R$
d. de la forme $\left]x_1;x_2\right[$

$\quad$

Correction Question 5

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta &=9^2-4\times (-3)\times (-5) \\
&=21\\
&>0\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=-3<0$.
Par conséquent $S$ est de la forme $\left]x_1;x_2\right[$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
La fonction dérivée de f est notée $f’$.
Dans le repère orthonormé ci-dessous, la courbe $C$ est la courbe représentative de $f$ sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
Le point $A$ est le point de la courbe $C$ d’abscisse $-1$. La droite $T$ est la tangente à la courbe $C$ en $A$.

Par lecture graphique, donner la valeur de $f'(-1)$.
$\quad$
Résoudre, graphiquement, l’inéquation $f'(x)\pp 0$.
$\quad$

On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-4 ; 2]$ par $f(x)=\left(-x^2+2,5x-1\right)\e^x$.

Vérifier que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-4;2]$, $$f'(x)=\left(-x^2+0,5x+1,5\right)\e^x$$
$\quad$
Étudier le signe de la fonction $f’$ sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
$\quad$
En déduire les variations de $f$ sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

La tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ d’abscisse $-1$ est parallèle à l’axe des abscisses. Par conséquent $f'(-1)=0$.
$\quad$
On recherche donc les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est décroissante.
Graphiquement, $f'(x)\pp 0$ sur $[-4;-1]\cup[1,5;2]$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $[-4;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x$ appartenant à $[-4;2]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=(-2x+2,5)\e^x+\left(-x^2+2,5x-1\right)\e^x\\
&=\left(-2x+2,5-x^2+2,5x-1\right)\e^x\\
&=\left(-x^2+0,5x+1,5\right)\e^x\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2+0,5x+1,5$.
Le discriminant de ce polynôme du second degré est donc :
$\begin{align*} \Delta&=0,5^2-4\times (-1)\times 1,5\\
&=6,25\\
&>0\end{align*}$
Ce polynôme possède deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-0,5-\sqrt{6,25}}{-2} \\
&=1,5\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-0,5+\sqrt{6,25}}{-2} \\
&=-1\end{align*}$
Le coefficient principal du polynôme est $a=-1<0$.
Par conséquent :
– $f'(x)<0$ sur $[-4;-1[\cup]1,5;2]$
– $f'(x)>0$ sur $]-1;1,5[$
– $f'(-1)=f'(1,5)=0$
$\quad$
Cela signifie donc que la fonction $f$ est strictement décroissante sur les intervalles $[-4;-1]$ et $[1,5;2]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[-1;1,5]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Laura reçoit chaque jour beaucoup de courriels. Pour se protéger des courriels indésirables, elle achète un logiciel anti-spam. Chaque jour, $35 \%$ des courriels reçus par Laura sont indésirables ; $95 \%$ des courriels indésirables sont automatiquement bloqués par le logiciel anti-spam. Parmi les courriels qui ne sont pas indésirables, le logiciel anti-spam en bloque $2 \%$.
On choisit au hasard un courriel reçu par Laura. Chaque courriel a la même probabilité d’être choisi. On considère les événements suivants :

$I$ : « le courriel choisi est indésirable »,
$S$ : « le logiciel anti-spam bloque le courriel choisi ».

Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de l’événement $A$.
Pour tout événement $A$ et $B$ avec $B$ un événement de probabilité non nulle, la probabilité de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.

Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité traduisant la situation.

$\quad$
Calculer la probabilité que le courriel reçu par Laura ne soit pas indésirable et soit bloqué par le logiciel anti-spam.
$\quad$
Montrer que $p(S) = 0,345~5$.
$\quad$
Le logiciel anti-spam a bloqué un courriel reçu par Laura. Calculer la probabilité que ce courriel soit indésirable. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
$\quad$
Le fournisseur du logiciel anti-spam affirme que son logiciel se trompe dans moins de $2 \%$ des cas. Est-ce vrai ? Justifier votre réponse.
$\quad$

$\quad$.

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p\left(\conj{I}\cap S\right)&=p\left(\conj{I}\right)\times p_{\conj{I}}(S)\\
&=0,65\times 0,02\\
&=0,013\end{align*}$
La probabilité que le courriel reçu par Laura ne soit pas indésirable et soit bloqué par le logiciel anti-spam est égale à $0,013$.
$\quad$
$I$ et $\conj{I}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(S)&=P(I\cap S)+p\left(\conj{I}\cap S\right) \\
&=0,35\times 0,95+0,65\times 0,02\\
&=0,345~5\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_S(I)&=\dfrac{p(S\cap I)}{p(S)} \\
&=\dfrac{0,35\times 0,95}{0,345~5} \\
&\approx 0,962\end{align*}$
La probabilité que le courriel reçu par Laura soit indésirable sachant que le logiciel anti-spam l’a bloqué est environ égale à $0,962$.
$\quad$
Les événements $I\cap \conj{S}$ et $\conj{I}\cap S$ sont incompatibles.
La probabilité que le logiciel se trompe est donc égale à :
$\begin{align*} p\left(I\cap \conj{S}\right)+p\left(\conj{I}\cap S\right) &=0,35\times 0,05+0,65\times 0,02\\
&=0,030~5\\
&>0,02\end{align*}$
L’affirmation du fournisseur du logiciel anti-spam est donc fausse.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Durant le mois de janvier 2020, une entreprise produit $2~500$ flacons de parfum ce qui correspond exactement au nombre de flacons commandés. Le propriétaire de l’entreprise décide d’augmenter chaque mois la production de $108$ flacons et il espère que le nombre de flacons commandés augmentera chaque mois de $3,8 \%$.
On considère la suite $\left(f_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $f_n$ modélise le nombre de flacons produits lors du mois de rang $n$ après janvier 2020 ; ainsi $f_0$ est le nombre de flacons produits en janvier 2020, $f_1$ le nombre de flacons produits en février 2020, etc.
De la même manière, on considère la suite $\left(c_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $c_n$ modélise le nombre potentiel de flacons commandés lors du mois de de rang $n$ après janvier 2020. On a donc $f_0=c_0=2~500$.

Déterminer, en expliquant les calculs effectués, le nombre de flacons produits et le nombre potentiel de flacons commandés en février 2020.
$\quad$
Déterminer la nature des suites $\left(f_n\right)$ et $\left(c_n\right)$.
$\quad$
Exprimer, pour tout entier $n$, $f_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
On admet que, selon ce modèle, au bout d’un certain nombre de mois le nombre potentiel de flacons commandés dépassera le nombre de flacons produits.
$\quad$
Reproduire et compléter sur la copie l’algorithme ci-dessous, écrit en Python, afin qu’après son exécution la variable n contienne le nombre de mois à attendre après le mois de janvier 2020 pour que le nombre potentiel de flacons commandés dépasse le nombre de flacons produits.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{n = 0}\\
\text{f = 2500}\\
\text{c = 2500}\\
\text{while $\ldots$ :}\\
\hspace{1cm}\text{n = $\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{f = $\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{c = $\ldots$}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
De début janvier 2020 à fin décembre 2020, la production globale dépassera-t-elle le nombre de commandes potentielles ? Expliquer votre démarche.
On rappelle que :
- Si $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$, alors, pour tout entier naturel $n$, $$u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}$$
- Si $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q\neq 1$, alors, pour tout entier naturel $n$, $$v_0+v_1+\ldots+v_n=v_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
  $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} f_1&=f_0+108 \\
&=2~500+108\\
&=2~608\end{align*}$
L’entreprise a produit $2~608$ flacons en février 2020.
$\quad$
On a également :
$\begin{align*} c_1&=\left(1+\dfrac{3,8}{100}\right)c_0\\
&=1,038\times 2~500\\
&=2~595\end{align*}$
$2~595$ flacons ont été commandés en février 2020.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $f_{n+1}=f_n+108$. La suite $\left(f_n\right)$ est donc arithmétique de raison $108$ et de premier terme $f_0=2~500$.
$\quad$
$\begin{align*} c_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3,8}{100}\right)c_n\\
&=1,038\times c_n\end{align*}$
La suite $\left(c_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,038$ et de premier terme $c_0=2~500$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $f_n=2~500+108n$ et $c_n=2~500\times 1,038^n$.
$\quad$
On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{n = 0}\\
\text{f = 2500}\\
\text{c = 2500}\\
\text{while c<=f :}\\
\hspace{1cm}\text{n = n+1}\\
\hspace{1cm}\text{f = f+108}\\
\hspace{1cm}\text{c = c*1.038}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
La production globale sur l’année 2020 est :
$\begin{align*} F_{11}&=f_0+f_1+\ldots+f_{11} \\
&=12\times \dfrac{f_0+f_{11}}{2}\\
&=12\times \dfrac{2~500+2~500+11\times 108}{2}\\
&=37~128\end{align*}$
Le nombre total de commandes potentielles sur l’année 2020 est :
$\begin{align*} C_{11}&=c_0+c_1+\ldots+c_{11} \\
&=2~500\times \dfrac{1-1,038^{12}}{1-1,038}\\
&\approx 37~136\end{align*}$
Ainsi $F_{11}<C_{11}$.
De début janvier 2020 à fin décembre 2020, la production globale ne dépassera donc pas le nombre de commandes potentielles.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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