E3C – Suites

Séries technologiques

Exercice

En 2016, la production de voitures électriques d’un grand groupe a été de $53~000$ véhicules sur un de ses sites. Par rapport à 2016, le nombre de véhicules électriques produits sur le site en 2017 a augmenté de $5\%$. La direction décide de maintenir chaque année cette progression de $5\%$ par rapport à la production de l’année précédente.

Déterminer le nombre de véhicules produits au cours de l’année 2017.

On modélise le nombre de véhicule électriques produits sur le site, au cours de l’année 2016$+n$, par une suite $\left(v_n\right)$.

Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$?
$\quad$
On souhaite déterminer l’année au cours de laquelle la production de véhicules électriques aura doublé par rapport à la production de 2016.
$\quad$
On considère le programme ci-dessous écrit en langage Python :
$$\begin{array}{|rl|}
\hline
1&v=53000\\
2&a=2016\\
3&\text{while }v<\ldots\ldots\ldots :\\
4&\hspace{1cm} v=\ldots\ldots\ldots\\
5&\hspace{1cm} a=a+1\\
6&\text{print}(\ldots\ldots)\\
\hline
\end{array}$$
a. Recopier et compléter les lignes $3$, $4$ et $6$ de ce programme afin qu’il réponde au problème.
$\quad$
b. Apporter une réponse au problème posé à l’aide de votre calculatrice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$53~000\times \left(1+\dfrac{5}{100}\right)=53~000\times 1,05=55~650$.
$55~650$ véhicules ont été produits au cours de l’année 2017.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_{n+1}=1,05v_n$.
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$.
$\quad$
a. $53~000\times 2 =106~000$
On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|rl|}
\hline
1&v=53000\\
2&a=2016\\
3&\text{while }v<106~000:\\
4&\hspace{1cm} v=1.05*v\\
5&\hspace{1cm} a=a+1\\
6&\text{print}(\ldots\ldots)\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. À l’aide de la calculatrice, on trouve $v_{14} \approx 104~936$ et $v_{15}\approx 110~183$.
C’est donc au cours de l’année 2031 que la production de véhicules électriques aura doublé par rapport à la production de 2016.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Source : https://toutmonexam.fr/epreuve.php?id=4075

$\quad$