E3C – Exercices – séries technologiques – fonctions – janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Exercice 

Un architecte souhaite dessiner la vitrine d’une bijouterie. Cette vitrine, représentée sur le schéma ci-dessous par le rectangle $ABCD$, mesure $5$ mètres de longueur et $3$ mètres de hauteur. Elle sera constituée de deux matières, du verre transparent représenté en blanc sur le schéma et du verre teinté représenté en gris.
Les points de fixation $E$, $F$, $G$ et $H$ du verre teinté forment le parallélogramme $EFGH$.

On note $x$ un nombre appartenant à l’intervalle $[0 ; 3]$.
Les longueurs, exprimées en mètre, $AH$, $DG$, $CF$ et $BE$ sont égales à $x$.

  1. a. Calculer l’aire, exprimée en m$^2$, du rectangle $ABCD$.
    $\quad$
    b. Exprimer les longueur $DH$ et $AE$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  2. On admet que l’aire du triangle $AEH$ est donnée par $\dfrac{x(5-x)}{2}$.
    a. Déterminer l’expression de l’aire du triangle $BEF$.
    $\quad$
    b. Montrer que l’aire du quadrilatère $EFGH$ est donnée par : $$f(x)=2x^2-8x+15$$
    $\quad$
  3. On admet que la parabole qui représente graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthogonal a pour sommet le point d’abscisse $2$.
    En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 3]$.
    $\quad$


$\quad$
Correction Exercice

  1. a. L’aire du rectangle $ABCD$ est
    $\begin{align*}\mathscr{A}_{ABCD}&=3\times 5 \\
    &=15\end{align*}$
    Ainsi $\mathscr{A}_{ABCD}=15$ m$^2$.
    $\quad$
    b. Le point $H$ appartient au segment $[DA]$
    Donc $DH=DA-AH$ soit $DH=3-x$
    Le point $E$ appartient au segment $[AB]$
    Donc $AE=AB-EB$ soit $AE=5-x$
    $\quad$
  2. a. Le triangle $BEF$ est rectangle en $B$.
    Son aire est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{BEF}&=\dfrac{BE\times BF}{2} \\
    &=\dfrac{x(3-x)}{2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’aire di quadrilatère $EFGH$ est :
    $\begin{align*} f(x)&=\mathscr{A}_{ABCD}-2\left(\mathscr{A}_{BEF}+\mathscr{A}_{AEH}\right) \\
    &=15-2\left(\dfrac{x(3-x)}{2}+\dfrac{x(5-x)}{2}\right) \\
    &=15-\left(x(3-x)+x(5-x)\right) \\
    &=15-\left(3x-x^2+5x-x^2\right)\\
    &=15-3x+x^2-5x+x^2\\
    &=2x^2-8x+15\end{align*}$
    $\quad$
  3. Le coefficient principal est $a=2>0$.
    Le sommet de la parabole a pour abscisse $2$ et pour ordonnée $f(2)=7$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$

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