1ère – E3C2 – Spécimen 1 – Probabilités

Spécimen 1 – Probabilités

E3C2 – 1ère

Exercice

Une urne contient six jetons rouges dont un est marqué « gagnant » et quatre jetons verts dont trois d’entre eux sont marqués « gagnant ».
On tire au hasard un jeton de l’urne et on note les événements :

  • $R$ : « le jeton tiré est rouge »,
  • $V$ : « le jeton tiré est vert »,
  • $G$ : « le jeton tiré est gagnant ».
  1. Modéliser la situation à l’aide d’un arbre de probabilité.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité de l’événement « le jeton tiré est un jeton vert et marqué gagnant ».
    $\quad$
  3. Soit $P(G)$ la probabilité de tirer un jeton gagnant. Montrer que $P(G)= \dfrac{2}{5}$.
    $\quad$
  4. Sachant que le jeton tiré est gagnant, calculer la probabilité qu’il soit de couleur rouge.
    $\quad$
  5. On tire maintenant, toujours au hasard et simultanément, deux jetons dans l’urne.
    Calculer la probabilité que les deux jetons soient marqués « gagnant ». Expliquer votre démarche.
    $\quad$


$\quad$
Correction

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(V\cap G)&=P(V)\times P_V(G)\\
    &=0,4\times \dfrac{3}{4} \\
    &=0,3\end{align*}$
    La probabilité de l’événement « le jeton tiré est un jeton vert et marqué gagnant » est donc égale à $0,3$.
    $\quad$
  3. $R$ et $V$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    P(G)&=P(R\cap G)+P(V\cap G) \\
    &=P(R)\times P_R(G)+0,3\\
    &=0,6\times \dfrac{1}{6}+0,3 \\
    &=0,4\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_G(R)&=\dfrac{P(G\cap R)}{P(G)}\\
    &=\dfrac{0,6\times \dfrac{1}{6}}{0,4} \\
    &= \dfrac{1}{4}\end{align*}$
    La probabilité que le jeton tiré soit de couleur rouge sachant qu’il est gagnant est égale à $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  5. On a $4$ jetons gagnant qu’on va numéroter $G_1$, $G_2$, $G_3$ et $G_4$ et $6$ jetons perdant numérotés de $P_1$ à $P_6$.
    Ainsi les tirages simultanés (ce mot est important, il ne s’agit pas de tirages successifs sans remise) possibles sont (attention l’ordre n’a pas d’importance, donc les tirages $P_1G_1$ et $G_1P_1$ représentent le même tirage et on ne le compte qu’une fois) :
    – $G_1G_2$, $G_1G_3$, $G_1G_4$, $G_2G_3$, $G_2G_4$, $G_3G_4$ : $6$ tirages où les deux jetons sont marqués « gagnant » .
    – $P_1P_2$, $P_1P_3$, $P_1P_4$, $P_1P_5$, $P_1P_6$, $P_2P_3$, $P_2P_4$, $P_2P_5$, $P_2P_6$, $P_3P_4$, $P_3P_5$, $P_3P_6$, $P_4P_5$, $P_4P_6$, $P_5P_6$ : $15$ tirages où aucun des deux jetons sont marqués « gagnant »
    – $P_1G_1$, $P_1G_2$, $P_1G_3$, $P_1G_4$, $P_2G1$, $P_2G_2$, $P_2G_3$, $P_2G_4$, $P_3G_1$, $P_3G_2$, $P_3G_3$, $P_3G_4$, $P_4G1$, $P_4G_2$, $P_4G_3$, $P_4G_4$, $P_5G_1$, $P_5G_2$, $P_5G_3$, $P_5G_4$, $P_6G_1$, $P_6G_2$, $P_6G_3$, $P_6G_4$ : $24$ tirages où exactement un jeton est marqué « gagnant »
    On a donc $6+15+24$, soit $45$, tirages possibles dont $6$ tirages où les deux jetons sont marqués « gagnant » .
    Ainsi la probabilité que les deux jetons soient marqués « gagnant » est égale à $\dfrac{6}{45}$, soit $\dfrac{2}{15}$.
    $\quad$
    Remarque : Si, au lieu de considérer des tirages simultanés on effectue des tirages successifs, la probabilité cherchée est alors $\dfrac{4}{10}\times \dfrac{3}{9}$, soit $\dfrac{2}{15}$. On retrouve le même résultat mais la démarche ne correspond cependant pas à ce que demande l’énoncé.
    $\quad$

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$\quad$