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Sujet 14: L’exploit d’Alan Eustace

Données :

— masse du système { Alan Eustace et son équipement } : m = 120 kg ;

— intensité de la pesanteur à la surface de la Terre : g = 9,8N · kg−1 ;

— on considère que le champ de pesanteur est uniforme entre 30 km et 42 km d’altitude, de norme : gA = 9,7N · kg−1.

L’étude du saut d’Alan Eustace est conduite dans le référentiel terrestre. Alan Eustace et son équipement sont modélisés par

un point matériel de masse m.

La position d’Alan Eustace est repérée par son altitude z sur un axe vertical orienté vers le haut, l’origine étant au sol.

Alan Eustace s’est laissé tomber à une date choisie comme origine des temps (t = 0 s) à partir d’un point A d’altitude

zA = 41 148 m par rapport au sol.

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Sujet 14: L’exploit d’Alan Eustace

Physique-Chimie / 1ère Spécialité

Partie 1 : Énergie potentielle de pesanteur du système

1.1. Champ de pesanteur au cours de la chute.

1.1.1. Quelle est l’origine de la variation observée entre les valeurs de g et gA ?

La variation observée est due à l’altitude. Lorsqu’on s’élève dans l’atmosphère, on s’éloigne du centre de gravité de la

Terre, et le champ gravitationnel de celle-ci s’affaiblit

1.1.2. Calculer l’écart relatif donné par

|g−gA|

g

et exprimé en %. Conclure.

Écart relatif : e =

|g−gA|

g

= 9,8−9,7

9,8

= 1%.

L’écart relatif calculé est négligeable, et permet de conclure que le champ de pesanteur est approximativement constant

tout au long de la chute d’Alan Eustace.

1.2. Travail du poids au cours du saut.

1.2.1. En considérant que le poids du système Alan Eustace et son équipement est constant, établir l’expression du travail

du poids du système lors du déplacement d’Alan Eustace de A jusqu’au sol en fonction de m, g, et zA.

#AB(

−→

P ) =

−→

P ·

−−→

AB = P × AB × cos(α)

La chute étant verticale : α = 0, de plus AB = zA, donc :

#AB(

−→

P ) = P × AB = m × g × zA

1.2.2. Calculer la valeur de ce travail.

#AB(

−→

P ) = 120 × 9.8 × 41148 = 4,84 · 10−7 J

1.3. Énergie potentielle de pesanteur.

1.3.1. « Le poids est une force conservative »; expliquer cette expression.

Une force est dite conservative, si elle ne modifie pas la valeur de l’énergie mécanique du système.

1.3.2. Définir l’énergie potentielle de pesanteur Sp du système et montrer que son expression est Ep = mgz si on choisit une

altitude de référence à préciser.

L’énergie potentielle de pesanteur Sp d’un corps de masse m en un point M d’altitude z est le travail que la force poids

est susceptible de produire lorsque le corps se déplace de sa position courante M à une position de référence R ou

l’énergie potentielle est posée nulle Sp,R = 0 . On écrit , à l’aide de la relation établie précédemment : Sp = #MR(

−→

P ) =

m × g × (z − zR) . En choisissant l’altitude de référence au niveau de la mer : zR = 0, on a bien : Sp = m × g × z

Partie 2 - Modélisation de la première phase du mouvement par une chute libre

Alan Eustace atteint un point B, d’altitude zB, après 50 s de chute.

Durant cette phase du mouvement, l’hypothèse est faite que la seule force

s’exerçant sur le système Alan Eustace et son équipement est le poids.

Dans ce cas, on peut montrer que la chute est verticale. Un logiciel de

simulation permet d’obtenir la courbe donnant la valeur de la vitesse v

d’Alan Eustace en fonction du temps t.

2.1. Montrer que ce modèle n’est pas compatible avec la donnée du texte introductif relative à la vitesse maximale atteinte.

D’après le document, la vitesse atteinte réellement par le parachutiste au bout de 50s est de vmax = 1322 km · h−1 =

367 m · s−1, or le modèle proposé indique qu’après la même durée , la vitesse atteinte vaut vmax = 487 m · s−1. L’écart

relatif entre ces valeurs est de : e =

vmax−vmax

vmax

= 33%. Cet écart important montre que le modèle proposé n’est pas

compatible avec le texte introductif.

2.2. Proposer une hypothèse expliquant l’écart entre valeur calculée et valeur expérimentale.

Le modèle suppose les frottements de l’air négligeables. Or , à la vitesse aussi élevée que celle à laquelle se déplaçait

Alan, il est probable que l’action de l’air soit importante, et ainsi ralentisse significativement la chute.

Partie 3 - Étude énergétique de la première phase du mouvement

On considère que la chute d’Alan Eustace durant les cinquante premières secondes est verticale. L’action mécanique exercée

par l’air sur Alan Eustace et son équipement est modélisée par une force de frottement fluide supposée constante. L’altitude

zB d’Alan Eustace après 50 s de chute est égale à 30 375 m.

3.1. Calcul de la valeur de la force de frottement fluide f dans le cadre de ce modèle.

3.1.1. Énoncer le théorème de l’énergie cinétique. Calculer la valeur de l’énergie cinétique à la fin de cette première phase.

La variation de l’énergie cinétique d’un corps se déplaçant d’un point A à un un point B est égale à la somme des

travaux des forces s’exerçant sur le système entre ces points :

∆ABSc = Sc,B − Sc,A = ∑i #AB(

−→

F i)

Énergie cinétique finale :

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Physique-Chimie / 1ère Spécialité

Sc,B = 1

2

mv2

B = 1

2

× 120 × 3672 = 8,08 · 106 J

3.1.2. Exploiter ce théorème et montrer que la valeur de la force de frottement est de l’ordre de 4 · 102 N..

D’après le théorème de l’énergie cinétique : Sc,B − Sc,A = #AB(

−→

P ) + #AB(

−→

f ).

Avec , Sc,A = 0 (chute sans vitesse initiale ) , et #AB(

−→

P ) = m × g × (zA − zB) , on obtient :

#AB(

−→

f ) = Sc,B − m × g × (zA − zB))

#AB(

−→

f )=8,08 · 106 − 120 × 9, 7 × (41148 − 30375) = −4,46 · 106 J

Or en supposant que la force de frottements est opposée au mouvement , et constante tout au long du déplace-

ment :#AB(

−→

f ) = −f × AB ⇒ f = −

WAB (

−→

f )

zA−zB

= 4.46e+06

41148−30375

= 414 N

3.1.3. Comparer la valeur obtenue au poids du système et conclure quant à la pertinence du modèle de la chute libre.

Le poids du système a pour valeur : P = mg = 1176 N. La force de frottements a donc une valeur proche de 35% de

la valeur de la force poids. Le modèle de la chute libre est basé sur l’hypothèse que l’action de l’air est négligeable

devant le poids, ce qui n’est clairement pas le cas ici. On ne peut donc pas l’utiliser pour étudier le mouvement d’Alan

Eustace.

3.1.4. Discuter également de la pertinence de la modélisation de l’action de l’air par une force de frottement constante. On

pourra s’interroger sur le lien entre la valeur de cette force et celle de la valeur de la vitesse d’Alan Eustace.

Au cours de sa chute la vitesse d’Alan Eustace augmente progressivement, or l’action de l’action est directement liée

à cette vitesse. La force de frottement, faible en début de chute, augmente rapidement. Il n’est donc pas pertinent de

considérer cette force constante tout au long du déplacement, et la valeur calculée précédemment, n’est que moyenne.

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Physique-Chimie / 1ère Spécialité

L’extrait de programme donné ci-dessous et rédigé en langage Python, permet de visualiser les énergies cinétique, potentielle

et mécanique du système { Alan Eustace + son équipement } durant la première phase du mouvement.

§

¤

5 to, dt, tmax = 0, 1, 50

6 vo = 0

7 zo = 0

# ordonnée à t = 0 s,

8

# axe vertical orienté vers le haut

9 z=zo

10 t=to

11 Eco=0

# énergie cinétique à to

12 Eppo=0

# énergie potentielle de pesanteur à to

13 Emo=0

# énergie mécanique à to

14

15 g=9.7

# intensité de pesanteur en N/kg

16 m=120

# masse en kg

17

18 ########## Création des listes ###########

19 tps=[0]

20 zlist= [z]

21 v=[0]

22 Eclist=[Eco]

23 Epplist=[Eppo]

24 Emlist=[Emo]

25

26 while t<tmax :

27

t = t + dt

28

tps.append(t)

29

30

v1 = vo + (-0.000044*vo*vo+9,7)*dt

31

vo=v1

32

33

########## Calculs de ###########

34

z=z-vo*dt

# ordonnée à la date t

35

Ec=0.5*m*vo**2 # énergie cinétique à la date t

36

Epp=m*g*z

# énergie potentielle de pesanteur

37

# à la date t Epp = 0 à t = 0 s

38

Em=Ec+Epp

# énergie mécanique à la date t

¦

¥

3.2.1. À quelle ligne peut-on lire le choix de l’origine de l’axe vertical ici utilisée ? À quelle position d’Alan Eustace correspond

cette origine ?

Le choix de l’origine de l’axe vertical est effectué à la ligne 07. On pose z0 = 0 à t = 0 , c’est à dire au moment ou

s’élance Alan Eustace dans le vide à 41148 m au dessus du niveau de la mer

3.2.2. En déduire que l’ordonnée d’Alan Eustace au cours du saut est négative pour ce choix d’origine.

L’axe des ordonnées étant orientée vers le haut, l’ordonnée d’Alan diminue au cours de la chute. Étant initialement

nulle, elle est négative tout au long de la chute.

3.2.3. Montrer que l’expression donnée à la ligne 36 est cohérente avec le commentaire de la ligne 37. Comment varie l’énergie

potentielle de pesanteur au cours du saut ? Quel est son signe ?

Il est possible d’exprimer l’énergie potentielle Sp en un point M d’altitude z à l’aide de la relation démontrée précé-

demment : ∆SM,R = Sp − Sp,R = m × g × (z − zR), ou un point de référence pour l’énergie potentielle. Or à la ligne

37 du programme, on lit un commentaire indiquant que la référence des énergies potentielles est choisie à t=0. Ainsi

Sp,R = 0 pour zR = 0 . On peut donc simplifier l’expression de l’énergie potentielle à Sp = m × g × z . Cette expression

est donc bien cohérente avec l’instruction de la ligne 36.

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